Aksjomat indukcji.html

Aksjomat indukcji to aksjomat, a właściwie nieskończony przeliczalny zbiór aksjomatów pierwszego rzędu, pozalogicznych rozważany zwłaszcza w teorii arytmetyki liczb naturalnych. Jest on formalizacją zasady indukcji matematycznej.

Jego treść przedstawia się następująco:

${ (T(1) \wedge \forall n: T(n) \Rightarrow T(n+1)) \Rightarrow \forall n: T(n) }$ ,

gdzie $\forall n$ oznacza: "dla każdego n" =>, to wynikanie (implikacja) ^ oznacza "i". Tak wyrażony aksjomat indukcji nie spełnia jednak założeń rozlicznych podejść, a w tym np. analizy Goedla niesprzeczności teorii matematycznych w szczególności arytmetyki. Problemem jest zupełna nieobliczalność relacji użytych do konstrukcji powyższego zdania: kwantyfikator ogólny "dla każdego n" nie da się bowiem zapisać jako funkcja obliczalna. Ponadto zdanie powyższe jest zdaniem drugiego rzędu z uwagi na użycie kwantyfikatora, co sprawia, że operuje ono obiektami niezdefiniowanymi w teorii (zbiorem liczb naturalnych n, z którego mamy wybierać wartości: nie można go skonstruować, zanim nie ustalimy listy aksjomatów i nie udowodnimy ich niesprzeczności).

Równoważnie aksjomat indukcji można zapisać jako koniunkcję zbioru aksjomatów w następującej postaci:

$T(1) \wedge ( T(1) \Rightarrow T(2) ) \Rightarrow T(2) \wedge \dots \wedge \dots$ ,

w której to notacji nie został użyty nieograniczony, a więc nieobliczalny (nierekurencyjny) kwantyfikator ogólny, wszystkie zdania są zaś pierwszego rzędu (wyrażają prawdy o zdefiniowanych wcześniej pojęciach pierwotnych arytmetyki, nie używając kwantyfikatora ogólnego). Uzyskujemy w ten sposób formalną poprawność sformułowania aksjomatu.

Aksjomaty indukcji są ważnym elementem teorii arytmetyki.

Jako ciekawostkę można nadmienić, że znane są przykłady twierdzeń, w których chociaż znamy dowody twierdzenia 'T(n)' dla każdego 'n', to twierdzenie T(n) nie może być dowiedzione w ramach arytmetyki liczb naturalnych (jest niedowiedlne), gdyż każdy z tych dowodów jest prowadzony za pomocą innych narzędzi i nie da się ich sprowadzić do kroku indukcyjnego (a więc rozumowania wykazującego T(n)=>T(n+1)), zapisanego za pomocą języka arytmetyki i obejmującego wszystkie możliwe wartości n (dla każdego n pojawia się pewien nowy element niewystępujący dla innych n).

edytuj Literatura

Roman Murawski, Funkcje rekurencyjne i elementy metamatematyki. Problemy zupełności, rozstrzygalności, twierdzenia Gödla, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 1990.

Aksjomat indukcji.html

edytuj Literatura

edytuj Zobacz też