Aksjomat nieskończoności.html

Aksjomat nieskończoności to jeden z aksjomatów teorii mnogości. Mówi, że istnieje zbiór $X\;$ spełniający dwa następujące warunki:

$\empty \in X$
$\forall_{y \in X} (S(y) \in X)$

gdzie S(y) jest następnikiem porządkowym zbioru y:

$S(y) = y \cup \{y\}$ .

Oznacza to, że do zbioru $X\;$ należą:

$\empty$ nazwijmy go $A_0\;$
$\{\empty\}$ nazwijmy go $A_1\;$
$\{\empty,\{\empty\}\}$ nazwijmy go $A_2\;$

itd.

Zbiór taki jest zbiorem nieskończonym – stąd nazwa aksjomatu.

Zbiór, który składa się z elementów $A_0, A_1, A_2, \dots$ (i żadnych innych) można utożsamić ze zbiorem liczb naturalnych, zbiory $A_0, A_1, A_2, \dots$ zaś utożsamić z liczbami $0, 1, 2, \dots\;$

Zbiór spełniający warunki aksjomatu nazywamy zbiorem induktywnym.

edytuj Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
zbiór induktywny.