Aksjomat sumy.html

Aksjomat sumy to jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermelo Fraenkela. Główny wniosek wynikający z tego aksjomatu jest taki, że suma zbiorów zawsze istnieje i jest też zbiorem.

edytuj Wersja dla dwóch zbiorów

Dla dowolnych dwóch zbiorów A,B istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B i który nie zawiera żadnych innych elementów. Formalnie można to zapisać następująco:

$\forall A \forall B \exist C \forall x (x\in A \or x\in B \iff x\in C)$

Z aksjomatu ekstensjonalności wynika ponadto istnienie co najwyżej jednego takiego zbioru. Istotnie gdyby C₁,C₂ były zbiorami istniejącymi na mocy aksjomatu sumy dla zbiorów A i B to:

$x\in C_1 \iff x\in A \or x\in B \iff x\in C_2$

a zatem na mocy aksjomatu ekstensjonalności mamy C₁=C₂.

Ten jedyny zbiór nazywamy sumą A i B i oznaczamy: $A \cup B$ .

edytuj Wersja ogólna

Dla dowolnego zbioru A istnieje zbiór B taki, że dla dowolnego zbioru C, C jest elementem B wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór D będący elementem A i którego elementem jest C. Formalnie:

$\forall A \exist B \forall C (C\in B \iff \exist D (C\in D\in A))$

Analogicznie jak dla poprzedniego przypadku - stosując aksjomat ekstensjonalności, można łatwo wykazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru, który nazywamy wtedy sumą (rodziny) A i oznaczamy $\bigcup A$ .

Aksjomat sumy można też wypowiedzieć w następujący sposób: dla dowolnego zbioru A istnieje taki zbiór, którego elementami są elementy elementów zbioru A i tylko one.