Aksjomat wyboru.html
 
| ca | de | en | es | fr | it | nl | no | pl | pt | ru | ro | fi | sv | tr | vo |


 

Spis treści

Aksjomat wyboru (ozn. AC) – jeden z aksjomatów teorii mnogości. Używa się różnych jego równoważnych sformułowań. Najczęściej spotykane jest następujące:

Dla każdej rodziny \mathcal{U} niepustych zbiorów rozłącznych istnieje zbiór V, do którego należy dokładnie po jednym elemencie każdego ze zbiorów z tej rodziny \mathcal{U} (zbiór taki nazywany jest selektorem).
\bigwedge_{\mathcal{U}} \Bigg[\Big(\bigwedge _{X \in \mathcal{U}} X \neq \varnothing\Big) \land \Big(\bigwedge _{X,Z \in \mathcal{U}} \big(X \neq Z \Rightarrow X \cap Z = \varnothing\big)\Big) \implies \bigvee_V \bigwedge_{X \in \mathcal{U}} \bigvee_z \big(X \cap V= \{z\}\big)\Bigg]

Przykładem innego sformułowania aksjomatu wyboru jest

iloczyn kartezjański dowolnej liczby niepustych zbiorów jest niepusty.

Elementami iloczynu kartezjańskiego \prod_{i\in I} A_i są funkcje f\colon I\to \bigcup_{i\in I}A_i spełniące f(i)\in A_i dla każdego i\in I. Aksjomat wyboru postuluje:

Jeśli \{A_i\colon i\in I\} jest rodziną zbiorów spełniącą warunek A_i\neq \varnothing dla każdego i\in I, wówczas istnieje funkcja wyboru f taka, że f(i)\in A_i dla każdego i\in I.

Równoważne aksjomatowi wyboru są także tak zwany lemat Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzenie mówiące, że każdy zbiór można dobrze uporządkować.

edytuj Kontrowersje

Aksjomat wyboru jest trywialny (i wynika z innych aksjomatów), jeśli zastosować go do skończonych rodzin zbiorów. W przypadku, kiedy mamy do czynienia z nieskończoną rodziną zbiorów, wydaje się również intuicyjny, lecz jego konsekwencje są zaskakujące. Na przykład Stefan Banach i Alfred Tarski korzystając z AC, udowodnili twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli. Mówi ono, że w przestrzeni euklidesowej R3 można podzielić kulę na skończoną liczbę części, z których da się złożyć dwie kule o takiej samej średnicy, co kula wyjściowa.

Obecnie większość matematyków uznaje i stosuje aksjomat wyboru. Przy twierdzeniach, których dowód go wykorzystuje, przyjęło się jednak zaznaczać ten fakt.

Można również rozważać modele teorii mnogości (tzn. aksjomatów ZF), w których prawdziwa jest negacja aksjomatu wyboru.

edytuj Słabsze formy

Czasami matematycy asekurując się przed paradoksalnymi następstwami zakładania aksjomatu wyboru, ograniczają się do jego słabszych, nierównoważnych wersji, jednak w wielu zastosowaniach wystarczających i nierzadko wygodniejszych.

Te słabsze formy są często podobne do aksjomatu wyboru i tylko ograniczają rozważane rodziny niepustych zbiorów, np. do skończonych zbiorów (ACF), albo zakładają że funkcja wyboru wybiera podzbiór każdego danego niepustego zbioru zamiast elementu. Następujące postulaty wynikają oczywiście z ZFC:

  • Zasada wyboru - SP[1]
Dla każdego zbioru X istnieje funkcja przyporządkowująca każdemu, co najmniej dwuelementowemu podzbiorowi zbioru X pewien niepusty, właściwy podzbiór zbioru X.
  • Aksjomat wyboru dla zbiorów dających się dobrze uporządkować - ACWO
Dla każdego zbioru X istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden element x\in X każdemu niepustemu podzbiorowi zbioru X dającemu się dobrze uporządkować.
  • Aksjomat wyboru dla zbiorów skończonych - ACF
Dla każdego zbioru X istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden element x\in X każdemu niepustemu, skończonemu podzbiorowi zbioru X.
  • Aksjomat wyboru dla zbiorów n-elementowych - Cn
Dla każdego zbioru X istnieje funkcja wybierająca po jednym elemencie z każdego n-elementowego podzbioru zbioru X.
  • Przeliczalny aksjomat wyboru - CAC albo ACω
Dla każdej przeliczalnej rodziny zbiorów istnieje funkcja wyboru.

Inne wersje wynikają z aksjomatu wyboru, ale mają całkowicie inną formę:

  • Aksjomat liniowego uporządkowania - OP
Każdy zbiór da się liniowo uporządkować.
  • Aksjomat podziału - PP
Każdy zbiór nieskończony da się podzielić na dwa nieskończone, rozłączne zbiory.

(Aksjomat ten jest bardzo słaby: na przykład nie można przy jego założeniu udowodnić, że każdy nieskończony zbiór da się podzielić na nieskończenie wiele nieskończonych rozłącznych zbiorów.)

  • Zasada wyborów zależnych - PDC albo DC
Niech X będzie niepustym zbiorem, oraz R\subseteq X\times X będzie pewną relacją na X. Jeżeli
\bigwedge_{x\in X}\bigvee_{y\in X} xRy,
wówczas istnieje ciąg (xn) elementów zbioru X, że
x_0Rx_1, x_1Rx_2, x_2Rx_3, \ldots, x_nRx_{n+1}, \ldots

(Już podstawowe twierdzenia w analizie i teorii miary potrzebują założenia PDC albo przynajmniej CC (np. aby udowodnić, że zbiór liczb rzeczywistych nie jest sumą przeliczalnej rodziny zbiorów miary zero). Istnienie zbiorów niemierzalnych nie wynika z aksjomatów ZF+PDC, czyli układ

ZF+PDC+"każdy podzbiór prostej rzeczywistej jest mierzalny"

jest niesprzeczny.)

  • Istnienie ultrafiltrów - BPI
Na każdej algebrze Boole'a istnieje ultrafiltr.

(Ten aksjomat wystarczy aby udowodnić np. twierdzenie o zwartości, twierdzenie Hahna-Banacha, istnienie zbiorów niemierzalnych, i twierdzenie Tichonowa dla przestrzeni T2.)

Prawdziwe są następujące ciągi implikacji:

AC ⇒ PDC ⇒ CAC
AC ⇒ SP ⇒ OP ⇒ ACF ⇒ ∀n Cn ⇒ Cm ⇒ PP
AC ⇒ BPI ⇒ OP
AC ⇒ ACWO ⇒ ACF

Przypisy

  1. ↑ Nazwy skrótów pochodzą z języka angielskiego, odpowiednio od Selection Principle, Axiom of choice for well orderable sets, Axiom of choice for finite sets, Axiom of choice for finite sets of n elements, Countable axiom of choice, The Ordering Principle, Partition Principle, Principle of dependent choices, Boolean prime ideal theorem.

edytuj Bibliografia

  1. Omar De La Cruz, Carlos Augusto Di Prisco: Weak forms of the axiom of choice and partitions of infinite sets. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1998. 
  2. Thomas Jech: The Axiom of Choice. Amsterdam: North Holland, 1973. 

edytuj Zobacz też
All Right Reserved © 2007, Designed by Stylish Blog.