Aksjomat zastępowania.html

Aksjomat zastępowania jest jednym z aksjomatów teorii mnogości Zermelo-Fraenkela.

Aksjomat zastępowania jest w rzeczywistości schematem aksjomatów, ponieważ występuje w nim dowolny predykat P spełniający poniższe założenia.

Niech P(x,y) będzie dwuargumentowym predykatem niezawierającym A ani B. Aksjomat zastępowania stwierdza

$(\forall x, \exist! y: P(x, y)) \rightarrow (\forall A, \exist B, \forall y: y \in B \iff \exist x: x \in A \and P(x, y))$

tzn. jeśli P jest taki, że dla każdego zbioru x istnieje dokładnie jeden zbiór y taki, że P(x,y), wtedy dla dowolnego zbioru A istnieje taki zbiór B, ze y należy do B wtedy i tylko wtedy, gdy w A istnieje taki element x, że P(x, y).

Poprzednik powyższej implikacji to wymaganie, by predykat P był predykatem funkcyjnym, tzn. by każdemu x'-owi podanemu jako wartość pierwszego argumentu odpowiadał dokładnie jeden y, który podany jako drugi argument czyni wyrażenie P(x.y) prawdziwym. Na predykat P można wtedy spojrzeć jak na inny zapis predykatu funkcyjnego F zdefiniowanego następująco:

$\forall x, \forall y : F(x)=y \iff P(x, y)$

tzn. dla każdego x i każdego y wartością F na x jest y wtedy i tylko wtedy, gdy x i y są takie, że P(X, Y).

Aksjomat zastępowania daje się więc zapisać następująco:

$\forall A, \exist B, \forall y: y \in B \iff \exist x: x \in A \and y = F(x)$

tzn. dla każdego zbioru A istnieje taki zbiór B, że dla każdego y, y należy do B wtedy i tylko wtedy, gdy w A istnieje taki x, że F elementowi x przypisuje y.

Intuicyjnie - aksjomat ten stwierdza, że dla danego predykatu funkcyjnego F i zbioru A istnieje zbiór będący obrazem F na A (często nazywany FA).

Aksjomat zastępowania został dodany przez Fraenkela do pierwotnego zbioru aksjomatów stworzonego przez Zermelo. Tak rozbudowany system określa się mianem teorii mnogości Zermelo-Fraenkela.

Słabszą wersją aksjomatu zastępowania jest aksjomat wycinania.