Aksjomaty przeliczalności.html



Aksjomaty przeliczalności – własności przestrzeni topologicznych odróżniające przestrzenie, odpowiednio, przeliczalnego charakteru i wagi od innych przestrzeni. Własności te są topologiczne, tzn. niezmiennicze w klasie przestrzeni topologicznych. Dokładniej, jeśli pewna przestrzeń ma jedną z tych własności, to każda homeomorficzna z nią przestrzeń również. Nazwa aksjomat w tym przypadku ma charakter wyłącznie historyczny i nie powinna być rozumiana w sensie dosłownym.

edytuj Pierwszy aksjomat

edytuj Definicja

Przestrzeń topologiczna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności, gdy ma przeliczalną bazę otoczeń w każdym punkcie.

edytuj Przykład

Własność tę ma na przykład każda przestrzeń metryczna (przykładową bazą jest rodzina kul o środku w danym punkcie i promieniach wymiernych).

edytuj Drugi aksjomat

edytuj Definicja

Przestrzeń topologiczna spełnia drugi aksjomat przeliczalności, jeżeli ma przeliczalną bazę topologii.

edytuj Przykład

Przykładem takiej przestrzeni jest zbiór liczb rzeczywistych, w której przeliczalną bazę tworzy np. rodzina przedziałów otwartych o końcach wymiernych.

Ogólniej: każda przestrzeń metryczna ośrodkowa spełnia drugi aksjomat przeliczalności.

edytuj Własności

• Każda przestrzeń spełniająca drugi aksjomat przeliczalności jest ośrodkowa.

edytuj Relacja między aksjomatami

• Jeżeli przestrzeń spełnia drugi aksjomat przeliczalności, to spełnia również pierwszy.
• Oczywiście wynikanie w drugą stronę nie zachodzi: dowolna przestrzeń topologiczna dyskretna spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności, ale tylko przeliczalne przestrzenie topologiczne dyskretne spełniają drugi aksjomat.

edytuj Literatura

1. Ryszard Engelking,: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1976.