Algebra Liego.html

Algebra Liego – w matematyce, struktura algebraiczna z określonym działaniem dwuargumentowym zwanym nawiasem Liego. Algebry Liego mają swoje zastosowanie m.in. podczas studiowania grup Liego.

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Generatory
4 Przykłady
5 Zobacz też

edytuj Definicja

Algebra Liego nad ciałem $K$ (zwykle $K = \mathbb C$ lub $K = \mathbb R$ ) to przestrzeń liniowa $X$ nad ciałem $K$ z określonym działaniem dwuargumentowym $[\cdot, \cdot]\colon X \times X \to X$ , nazywanym nawiasem Liego lub komutatorem, spełniającym dla dowolnych $x, y, z \in X$ i $\alpha, \beta \in K$ następujące warunki:

dwuliniowość:

$[α x + β z, y = α x, y + β z, y$ ,

$x,α y + β z = α x, y + β x, z$ ,
antysymetryczność:

$x, y = - y, x$ ,
tożsamość Jacobiego

$\left[x, [y, z]\right] + \left[y, [z, x]\right] + \left[z, [x, y]\right] = 0$ .

edytuj Przykłady

edytuj Przemienna algebra Liego

Dowolna przestrzeń liniowa, w której zdefiniujemy nawias Liego dowolnych dwóch elementów jako równy zero, jest algebrą Liego. Taką algebrę Liego nazywamy przemienną lub abelową.

edytuj Iloczyn wektorowy

Nawias Liego w przestrzeni $\mathbb R^3$ definiujemy jako iloczyn wektorowy elementów. Łatwo sprawdzić, że takie działanie spełnia warunki z definicji algebry Liego.

edytuj Komutator

Algebrą Liego jest dowolna algebra łączna, w której definiujemy nawias Liego jako komutator, czyli

a, b = a b - b a

Komutator automatycznie spełnia wszystkie trzy warunki z definicji nawiasu Liego.

Szczególnymi przypadkami tego rodzaju algebr Liego są:

algebra $\mathfrak l(n, \mathbb C)$: zbiór wszystkich macierzy kwadratowych wymiaru $n$ o elementach zespolonych:
algebra $\mathfrak{sl}(n, \mathbb C)$: podalgebra $\mathfrak l(n, \mathbb C)$ macierzy o śladzie równym zeru;
algebra $\mathfrak u(n, \mathbb C)$: podalgebra $\mathfrak l(n, \mathbb C)$ macierzy antyhermitowskich;
algebra $\mathfrak{su}(n, \mathbb C)$: podalgebra $\mathfrak l(n, \mathbb C)$ będąca przecięciem dwóch powyższych;
algebra $\mathfrak{so}(n, \mathbb R)$: algebra antysymetrycznych macierzy kwadratowych wymiaru $n$ o elementach rzeczywistych, w szczególności z antysymetryczności wynika, że ślad tych macierzy jest równy zeru.

edytuj Generatory

Istnieje pewne podobieństwo definicji zbioru generatorów grupy do definicji bazy przestrzeni liniowej.

Algebra Liego rozpięta jest na zbiorze liniowo niezależnych elementów (zbioru generatorów) $X = x i e i$ . Jest ona zdefiniowana przez wszystkie możliwe komutatory generatorów

e_i,e_j =	∑	f_i,j,ke_k
	k

Współczynniki $f i, j, k$ nazywamy stałymi strukturalnymi. Jeżeli wszystkie komutatory są równe zeru, to algebra (grupa) jest nazywana abelową lub przemienną.

edytuj Przykłady

edytuj Przesunięcia w przestrzeni trójwymiarowej

Zbiór generatorów ma trzy elementy: przesunięcie jednostkowe w kierunku osi $O x$ , $O y$ i $O z$ . Oznaczmy je przez $X, Y, Z$ . Algebra Liego tej grupy to

X, Y = Y, Z = Z, X = 0

Jest to więc grupa przemienna.

edytuj Obroty w przestrzeni trójwymiarowej

Zbiór generatorów ma trzy elementy: obrót jednostkowy w prawo wokół osi $O x$ , $O y$ i $O z$ . Oznaczmy je przez $e 1$ , $e 2$ , $e 3$ . Algebra Liego tej grupy:

e 1, e 2 = e 3

e 2, e 3 = e 1

e 3, e 1 = e 2

Stałe strukturalne $f i, j, k = ε i, j, l$ określone są przez symbol Leviego-Civity w następujący sposób:

$f i, j, k = 1$ , gdy permutacja $(123)$ jest parzysta,
$f i, j, k = - 1$ , gdy permutacja ta jest nieparzysta,
$f i, j, k = 0$ , gdy któryś ze wskaźników się powtarza.

Jeżeli obrócimy układ o $90^\circ$ w prawo wokół osi $O x$ oraz $90^\circ$ w prawo wokół osi $O y$ , a następnie $90^\circ$ w lewo wokół osi $O x$ i $90^\circ$ w lewo wokół osi $O y$ , to nie wrócimy do punktu wyjścia – układ będzie obrócony o $90^\circ$ w lewo wokół osi $O z$ oraz $90^\circ$ w lewo wokół osi $O y$ w stosunku do układu początkowego. Nie jest to więc grupa abelowa.

edytuj algebra $\mathfrak{su}(2)$

Zbiór bezśladowych macierzy wymiaru $2 \times 2$ rozpięty jest na trzech macierzach Pauliego $σ i$ (macierze te używane są także do opisu cząstek ze spinem połówkowym). Generatorami algebry $\mathfrak{su}(2)$ są

$e_i = -\tfrac{1}{2}i \sigma_i$

Algebra $\mathfrak{su}(2)$ jest algebrą Liego grupy SU(2) oraz grupy grupy SO(3) – grupy obrotów w przestrzeni trójwymiarowej.

Algebra Liego.html

Spis treści

edytuj Definicja

edytuj Przykłady

edytuj Przemienna algebra Liego

edytuj Iloczyn wektorowy

edytuj Komutator

edytuj Generatory

edytuj Przykłady

edytuj Przesunięcia w przestrzeni trójwymiarowej

edytuj Obroty w przestrzeni trójwymiarowej

edytuj algebra

edytuj Zobacz też

edytuj algebra $\mathfrak{su}(2)$