Algebra różniczkowa.html

Pierścień różniczkowy, ciało różniczkowe i algebra różniczkowa – w matematyce odpowiednio: pierścień, ciało i algebra wyposażone w różniczkowanie, czyli funkcję jednoargumentową spełniającą prawo iloczynu Leibniza. Naturalnym przykładem ciała różniczkowego jest ciało funkcji wymiernych nad liczbami zespolonymi jednej zmiennej, $\mathbb C(t)$ , gdzie różniczkowaniem jest różniczka względem $\ t$ .

Spis treści

1 Pierścień różniczkowy
2 Ciało różniczkowe
3 Algebra różniczkowa
4 Różniczkowanie w algebrze Liego
5 Przykłady
6 Pierścień operatorów pseudoróżniczkowalnych
7 Różniczkowania z gradacją
8 Zobacz też
9 Źródła
10 Linki zewnętrzne

edytuj Pierścień różniczkowy

Pierścień różniczkowy to pierścień $R$ wyposażony w co najmniej jedno różniczkowanie

$\partial\colon R \to R$ ,

z których każde spełnia prawo Leibniza

$\partial(r_1\cdot r_2) = (\partial r_1)\cdot r_2 + r_1\cdot (\partial r_2)$

dla dowolnych $r_1, r_2 \in R$ . Należy pamiętać, że pierścień nie musi być przemienny, a więc w pewnym stopniu standardowa forma wzoru na iloczyn w kontekście przemiennym, $\operatorname{d}(x\cdot y) = x\cdot\operatorname{d}y + y\cdot\operatorname{d}x$ , może być fałszywa. Jeżeli $M\colon R \times R \to R$ jest mnożeniem w pierścieniu, to prawo iloczynu jest tożsamością

$\partial \circ M = M \circ (\partial \times \operatorname{id}) + M \circ (\operatorname{id} \times \partial)$ ,

gdzie $f \times g$ oznacza funkcję odwzorowującą parę $\ (x, y)\$ na parę $\left(f(x), g(y)\right)$ .

edytuj Ciało różniczkowe

Ciało różniczkowe to ciało $K$ z różniczkowaniem. Teoria ciał różniczkowych, DF (od ang. differential field), jest zasadzona na zwykłych aksjomatach ciała poszerzonych o dwa dodatkowe określające różniczkowanie. Tak jak wyżej, różniczkowanie musi spełniać prawo iloczynu Leibniza dla elementów z ciała, tzn. dla dowolnych dwóch elementów $u, v$ z ciała jest

$\partial(u\cdot v) = u\cdot\partial v + v\cdot\partial u$

ponieważ mnożenie w ciele jest przemienne. Różniczkowanie musi być również rozdzielne względem dodawania w ciele:

$\partial (u + v) = \partial u + \partial v$ .

Jeżeli $K$ jest ciałem różniczkowym, to ciało stałych dane jest jako $k = \{u \in K\colon \partial(u) = 0\}$ .

edytuj Algebra różniczkowa

Algebra różniczkowa nad ciałem $K$ to $K$ -algebra $A$ , gdzie różniczkowania komutują (są przemienne) z działaniami ciała, tzn. dla każdego $k \in K$ oraz $x \in A$ zachodzi

$\partial (kx) = k \partial x$ .

W zapisie bezwskaźnikowym, jeżeli $\eta\colon K \to A$ jest homomorfizmem pierścieni określającym mnożenie skalarne w algebrze, to zachodzi

$\partial \circ M \circ (\eta \times \operatorname{id}) = M \circ (\eta \times \partial)$ .

Jak wyżej, różniczkowanie musi zachowywać prawo Leibniza względem mnożenia w algebrze i musi być liniowe względem dodawania, a więc dla każdego $a, b \in K$ oraz $x, y \in A$ jest

$\partial (xy) = (\partial x) y + x(\partial y)$

oraz

$\partial (ax + by) = a\,\partial x + b\,\partial y.$

edytuj Różniczkowanie w algebrze Liego

Różniczkowanie w algebrze Liego $\mathfrak g$ jest odwzorowaniem liniowym $\operatorname{D}\colon \mathfrak g \to \mathfrak g$ spełniającym prawo Leibniza:

$\operatorname{D}([a, b]) = [a, \operatorname{D}(b)] + [\operatorname{D}(a), b]$ .

Dla dowolnego $a \in \mathfrak{g}$ , wyrażenie $\operatorname{ad}(a)$ jest różniczkowaniem na $\mathfrak{g}$ , które spełnia tożsamość Jacobiego. Każde takie różniczkowanie nazywane jest różniczkowaniem wewnętrznym.

edytuj Przykłady

Jeżeli $A$ ma jedynkę, to $\partial(1) = 0$ , ponieważ $\partial(1) = \partial(1 \times 1) = \partial(1) + \partial(1)$ . Przykładowo w ciele różniczkowym charakterystyki zero liczby wymierne zawsze są podciałem ciała stałych.

Każde czyste ciało może być interpretowane jako ciało różniczkowe stałych.

Ciało $\mathbb Q(t)$ ma unikatową strukturę jako ciało różniczkowe, które jest określone przez równość $\partial(t) = 1$ : aksjomaty ciała wraz z aksjomatami różniczkowania sprawiają, że różniczkowanie jest różniczką względem $t$ . Na przykład, na mocy przemienności mnożenia i prawa Leibniza zachodzi $\partial(u^2) = u \partial(u) + \partial(u) u = 2u \partial(u)$ .

W ciele różniczkowym $\mathbb Q(t)$ nie ma rozwiązania równania różniczkowego

$\partial(u) = u$ ,

ale znajduje się ono w większym ciele różniczkowym zawierającym funkcję $e t$ . Ciało różniczkowe z rozwiązaniami wszystkich układów równań różniczkowych nazywane jest ciałem różniczkowo domkniętym. Takie ciała istnieją, ale nie mają własności naturalnych obiektów algebraicznych czy geometrycznych. Wszystkie ciała różniczkowe (o ograniczonej kardynalności) zawierają się w większym ciele różniczkowo domkniętym. Ciała różniczkowe są przedmiotem badań w różniczkowej teorii Galois.

Powszechnie występującymi przykładami różniczkowań są pochodna cząstkowa, pochodna Liego, pochodna Pincherlego i komutator względem elementu algebry. Wszystkie te przykłady są ściśle ze sobą powiązane wspólnym pojęciem różniczkowania.

edytuj Pierścień operatorów pseudoróżniczkowalnych

Pierścienie różniczkowe i algebry różniczkowe są często badane za pomocą pierścienia operatorów pseudoróżniczkowym na nich określonych.

Niech dany będzie pierścień

$R((\xi^{-1})) = \left\{ \sum_{n<\infty} r_n \xi^n\colon r_n \in R \right\}$ .

Mnożenie w tym pierścieniu określone jest wzorem

$(r\xi^m)(s\xi^n) = \sum_{k=0}^m r (\partial^k s) \tbinom{m}{k} \xi^{m+n-k}$ ,

gdzie $\tbinom{m}{k}$ oznacza symbol Newtona. Warta wspomnienia tożsamość

$\xi^{-1} r = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\partial^n r) \xi^{-1-n}$

wynika z innych tożsamości:

$\tbinom{-1}{n} = (-1)^n$

oraz

$r \xi^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \xi^{-1-n} (\partial^n r)$ .

edytuj Różniczkowania z gradacją

Jeżeli dana jest algebra z gradacją $A$ , a $\operatorname{D}$ jest jednorodnym przekształceniem liniowym o gradacji $d = |\operatorname{D}|$ w $A$ , wtedy $\operatorname{D}$ jest różniczkowaniem jednorodnym, jeżeli $\operatorname{D}(ab) = \operatorname{D}(a) b + \varepsilon^{|a| |\operatorname{D}|} a \operatorname{D}(b)$ , $\varepsilon = \pm1$ , działa na elementach jednorodnych $A$ .

Różniczkowanie z gradacją jest sumą różniczkowań jednorodnych o tym samym $\varepsilon$ .

Jeżeli współczynnik komutujący $\varepsilon = 1$ , to definicja ta redukuje się do zwykłego przypadku.

Jeżeli jednakże $\varepsilon = -1$ , to jest $\operatorname{D}(ab) = \operatorname{D}(a) b + (-1)^{|a|} a \operatorname{D}(b)$ dla parzystych $|\operatorname{D}|$ . Nazywa się je wtedy antyróżniczkowaniami.

Przykładami antyróżniczkowań są pochodna zewnętrzna i produkt wewnętrzny (ang. interior product, nie mylić z iloczynem wewnętrznym, ang. inner product) działający na formach różniczkowych.

Różniczkowania z gradacją superalgebr (np. algebry z gradacją $\mathbb Z_2$ ) są często nazywane superróżniczkowaniami.

edytuj Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki
różniczkowa teoria Galois,
różniczka Kählera,
ciało różniczkowo domknięte,
D-moduł – struktura algebraiczna z działającymi na niej kilkoma operatorami różniczkowymi,
algebra różniczkowa z gradacją – algebra różniczkowa z dodatkową gradacją,
pochodna arytmetyczna.

edytuj Źródła

Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957).
E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer i A. Pillay, Springer Verlang (1996).
A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994

edytuj Linki zewnętrzne

David Marker's home page has several online surveys discussing differential fields.