Algorytm Floyda-Warshalla.html

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia
graf
drzewo
podgraf
cykl
klika
stopień wierzchołka
dopełnienie grafu
obwód grafu
pokrycie wierzchołkowe
liczba chromatyczna
indeks chromatyczny
izomorfizm grafów
homeomorfizm grafów

więcej...

Wybrane klasy grafów
graf pełny
graf spójny
drzewo
graf dwudzielny
graf regularny
graf eulerowski
graf hamiltonowski
graf planarny

więcej...

Algorytmy grafowe
A*
Bellmana-Forda
Breadth-first search
Depth-first search
Dijkstry
Fleury'ego
Floyda-Warshalla
Johnsona
Kruskala
Prima
przeszukiwanie grafu
najbliższego sąsiada

Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe
problem komiwojażera
problem chińskiego listonosza
problem kojarzenia małżeństw

Inne zagadnienia
kod Graya
diagram Hassego

edytuj ten szablon

Algorytm Floyda-Warshalla służy do znajdowania najkrótszych ścieżek pomiędzy wszystkimi parami wierzchołków w grafie ważonym.

edytuj Opis algorytmu

Algorytm Floyda-Warshalla korzysta z tego, że jeśli najkrótsza ścieżka pomiędzy wierzchołkami v₁ i v₂ prowadzi przez wierzchołek u, to jest ona połączeniem najkrótszych ścieżek pomiędzy wierzchołkami v₁ i u oraz u i v₂. Na początku działania algorytmu inicjowana jest tablica długości najkrótszych ścieżek, tak że dla każdej pary wierzchołków (v₁,v₂) ich odległość wynosi:

$d[v_1,\,v_2]=\begin{cases} 0, & \mbox{gdy}\ v_1=v_2\\ w(v_1,\,v_2), & \mbox{gdy}\ (v_1,\,v_2)\in E \\ +\infty, & \mbox{gdy}\ (v_1,\,v_2)\not\in E\end{cases}$

Algorytm jest dynamiczny i w kolejnych krokach włącza do swoich obliczeń ścieżki przechodzące przez kolejne wierzchołki. Tak więc w k-tym kroku algorytm zajmie się sprawdzaniem dla każdej pary wierzchołków, czy nie da się skrócić (lub utworzyć) ścieżki pomiędzy nimi przechodzącej przez wierzchołek numer k (kolejność wierzchołków jest obojętna, ważne tylko, żeby nie zmieniała się w trakcie działania programu). Po wykonaniu |V| takich kroków długości najkrótszych ścieżek są już wyliczone.

edytuj Wydajność algorytmu

Złożoność obliczeniowa: $O(|V|^3)\$
Złożoność pamięciowa: $O(|V|^2)\$

edytuj Zapis w pseudokodzie

Dla grafu G i funkcji wagowej w otrzymamy tablicę dv₁v₂ odległości pomiędzy wierzchołkami v₁ i v₂.

Floyd-Warshall(G,w)

dla każdego wierzchołka v1 w V[G] wykonaj
  dla każdego wierzchołka v2 w V[G] wykonaj
    d[v1][v2] = nieskończone
    poprzednik[v1][v2] = niezdefiniowane
  d[v1][v1] = 0
dla każdej krawędzi (v1,v2) w E[G]
  d[v1][v2] = w(v1,v2)
  poprzednik[v1][v2] = v1
dla każdego wierzchołka u w V[G] wykonaj
  dla każdego wierzchołka v1 w V[G] wykonaj
    dla każdego wierzchołka v2 w V[G] wykonaj
      jeżeli d[v1][v2] > d[v1][u] + d[u][v2] to
        d[v1][v2] = d[v1][u] + d[u][v2]
        poprzednik[v1][v2] = poprzednik[u][v2]

Zobacz też: problem najkrótszej ścieżki, algorytm Johnsona