Baza (topologia).html

Spis treści

1 Charakteryzacja bazy
2 Przykłady
3 Własności bazy przestrzeni
4 Ciężar przestrzeni
5 Określanie topologii za pomocą bazy
6 Baza domknięta
7 Zobacz też
8 Przypisy

Baza przestrzeni topologicznej to taka rodzina zbiorów otwartych tej przestrzeni, że każdy zbiór otwarty przestrzeni jest sumą pewnej podrodziny zbiorów bazy.

Mówiąc ściśle, podane pojęcie bazy definiuje bazę otwartą – lecz zwykle o takich właśnie bazach się mówi. Pojęcie bazy domkniętej określone jest w dalszej części.

Topologia przestrzeni wyznaczona jest przez dowolną swoją bazę jednoznacznie, jako rodzina sum wszystkich podrodzin bazy (w szczególności, zbiór pusty otrzymuje się jako sumę rodziny pustej).

edytuj Charakteryzacja bazy

Rodzina $\mathcal{B}$ podzbiorów zbioru $X\,$ jest bazą pewnej topologii w $X\,$ wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następujące dwa warunki:

$\bigcup \mathcal{B} = X$
Dla dowolnych zbiorów $P\,$ i $S\,$ należących do $\mathcal{B}\,$ : $P \cap S = \bigcup \{ Q \in \mathcal{B} \colon Q \subseteq P \cap S \}$ ^[1]

edytuj Przykłady

rodzina wszystkich przedziałów otwartych na prostej rzeczywistej jest bazą w naturalnej topologii prostej (tj. topologii wyznaczonej przez metrykę),
rodzina wszystkich skończonych przedziałów otwartych na osi liczbowej jest również bazą wyżej wspomnianej przestrzeni,
rodzina wszystkich kul otwartych w dowolnej przestrzeni metrycznej jest bazą w naturalnej (tj. metrycznej) topologii tej przestrzeni,
rodzina wszystkich kwadratów otwartych na płaszczyźnie jest bazą płaszczyzny w topologii euklidesowej.

edytuj Własności bazy przestrzeni

Podstawowe własności bazy:

Jeżeli $A\,$ i $B\,$ są dwoma zbiorami bazy o niepustej części wspólnej, to w zbiorze $A\cap B\,$ zawarty jest pewien element bazy.
Dla każdego punktu przestrzeni, jego dowolne otoczenie zawiera element bazy, który zawiera ten punkt.
Niech $f\colon X\to Y\,$ . Jeżeli przeciwobraz dowolnego zbioru bazy przestrzeni $Y\,$ jest zbiorem otwartym w $X\,$ , to odwzorowanie $f\,$ jest ciągłe. Podobnie, jeżeli obraz dowolnego zbioru bazy przestrzeni $X\,$ jest zbiorem otwartym w $Y\,$ , to $f\,$ jest odwzorowaniem otwartym.
Jeżeli $\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\ldots,\mathcal{B}_n$ są bazami odpowiednio przestrzeni $X_1,X_2,\ldots,X_n\,$ , to

$\{ B_1 \times \ldots \times B_n \,\colon\, (B_1, \ldots, B_n) \in \mathcal{B}_1\times\ldots\times\mathcal{B}_n\}$

jest bazą przestrzeni $X_1\times X_2\times\ldots\times X_n\,$ .

edytuj Ciężar przestrzeni

Ciężarem (wagą) przestrzeni topologicznej $(X,\mathcal{T})$ nazywamy najmniejszą liczbę kardynalną $κ$ taką, że istnieje w tej przestrzeni baza mocy $κ$ . Na przykład, ciężar przestrzeni dyskretnej jest równy mocy zbioru jej elementów. Ciężar przestrzeni jest funkcją kardynalną.

$w(X)=\min\{|\mathcal{B}|\colon \mathcal{B}$ - baza $(X,\mathcal{T})\}$

edytuj Określanie topologii za pomocą bazy

Aby w danym zbiorze określić topologię, wystarczy wyróżnić w nim rodzinę $\mathcal{B}\,$ podzbiorów spełniającą trzy warunki:

$\mathcal{B}\,$ zawiera zbiór pusty.
Suma zbiorów rodziny $\mathcal{B}\,$ jest całą przestrzenią.
Część wspólna dowolnej skończonej liczby zbiorów z $\mathcal{B}\,$ należy do $\mathcal{B}\,$ .

Za zbiory otwarte należy wówczas uważać dowolne sumy elementów z $\mathcal{B}\,$ oraz ich skończone części wspólne. Jest to bardzo ogólna i wygodna metoda określania topologii.

Na przykład: w przestrzeni $\mathbb{R}^2$ niech $B$ będzie rodziną półpłaszczyzn bez brzegu wyznaczonych przez półproste o równaniach $x = c$ , gdzie $c\in\mathbb{Q}$ . Dołączając do $B$ zbiór pusty, otrzymujemy rodzinę spełniającą wyżej wymienione warunki. Określa ona zatem pewną topologię w $\mathbb{R}^2$ – nie jest to jednak topologia euklidesowa.

edytuj Baza domknięta

Analogicznie do bazy otwartej można określić bazę domkniętą przestrzeni topologicznej. Jest to taka rodzina, że każdy zbiór domknięty jest częścią wspólną jej pewnej podrodziny.

edytuj Zobacz też

edytuj Przypisy

↑ Włodzimierz Holsztyński, WSTĘP DO TOPOLOGII, Komentarz do wykładu dla studentów II roku matematyki U.W., Uniwersytet Warszawski, Warszawa 1968