Bijekcja.html

Bijekcja umożliwia jednoczesne sparowanie wszystkich elementów odwzorowywanych zbiorów.

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) – funkcja będąca jednocześnie funkcją różnowartościową i "na". Innymi słowy, bijekcja to funkcja (relacja przyporządkowująca każdemu elementowi dziedziny dokładnie jeden element obrazu) taka, że każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny.

edytuj Definicja formalna

W teorii mnogości bijekcja definiowana jest jako podzbiór $f \subseteq X \times Y$ iloczynu kartezjańskiego zbiorów $X$ i $Y$ , który spełnia następujące warunki:

$\forall_{x \in X}\; \exists_{y \in Y}\quad x \;f\; y$ .
$\forall_{y \in Y}\; \exists_{x \in X}\quad x \;f\; y$ .
$\forall_{x,y \in X}\; \forall_{z \in Y}\quad x \;f\; z \and y \;f\; z \implies x = y$ .
$\forall_{x \in X}\; \forall_{y, z \in Y}\quad x \;f\; y \and x \;f\; z \implies y = z$ .

Słownie: każdy element dziedziny musi być w relacji z dokładnie jednym elementem przeciwdziedziny i odwrotnie.

edytuj Wnioski

Przeciwdziedzina jest równa obrazowi funkcji, $Y = f (X)$ .
Funkcja jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja do niej odwrotna – również i ona jest bijekcją.

edytuj Grupa bijekcji

Zobacz więcej w osobnym artykule: grupa permutacji.

Ponieważ działanie składania bijekcji danego zbioru jest łączne i jest ono automorfizmem, a każda bijekcja posiada jednoznacznie określoną do niej funkcję odwrotną, to spełnione są założenia definicji grupy. Grupę taką nazywa się oczywiście grupą bijekcji tego zbioru, są to historycznie pierwsze rozważane grupy.

Bijekcja.html

Spis treści

edytuj Definicja formalna

edytuj Wnioski

edytuj Grupa bijekcji

edytuj Zobacz też