Brzeg (topologia).html

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

B jest jednym z punktów brzegowych figury.

Brzeg zbioru (figury, bryły) $F$ w geometrii lub topologii oznacza zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których dowolne otoczenie zawiera zarówno punkty należące do zbioru F, jak i nie należące do tego zbioru. Brzeg zbioru $F$ zazwyczaj oznaczamy $\mbox{bd}\,F, \mbox{fr}\,F, \partial F.$ Punkty należące do brzegu zbioru nazywamy punktami brzegowymi zbioru.

edytuj Przykłady

Brzeg składowych zbioru Mandelbrota o okresach 1-6

Niech $R$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:

$\mbox{bd}\,(0,5) = \mbox{bd}\,[0,5) = \mbox{bd}\,(0,5] = \{0,5\}$ ,
$\mbox{bd}\,\varnothing = \varnothing$ ,
$\mbox{bd}\,\left\{1, {1 \over 2}, {1 \over 3}, {1 \over 4}, ...\right\} = \{0\}\cup \left\{1, {1 \over 2}, {1 \over 3}, {1 \over 4}, ...\right\}$ ,
$\mbox{bd}\,\mathbb Q = \mathbb R$ ,
$\mbox{bd}\,(\mathbb R \setminus \mathbb Q) = \mathbb R$ .

Ostatnie trzy przykłady pokazują, że brzeg zbioru może być zbiorem "większym" niż sam zbiór.

edytuj Własności

Brzeg zbioru jest zbiorem domkniętym. $B$ .

Brzeg zbioru i brzeg jego dopełnienia są równe: $S \subseteq X\Rightarrow \mbox{bd}\,S = \mbox{bd}\,(X \setminus S)$ .
Zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swój brzeg.
Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma punktów wspólnych ze swoim brzegiem.
Domknięcie zbioru jest równe sumie zbioru i jego brzegu.
Brzeg zbioru jest zbiorem pustym wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest jednocześnie otwarty i domknięty.
W przestrzeni euklidesowej każdy zbiór domknięty jest brzegiem pewnego zbioru.

Poniższe zależności pozwalają zdefiniować brzeg zbioru w inny sposób:

$\mbox{bd}\,S = \overline{S} \cap \overline{ (X \setminus S)}$
$\mbox{bd}\,S = \overline{S}\setminus S^\circ$ .

$\overline{\ }\,$ oraz ${\ }^\circ\,$ oznaczają tutaj operacje domknięcia i wnętrza.

Zdefiniowane wyżej pojęcie brzegu zbioru w istotny sposób zależy od topologii przestrzeni w jakiej dany zbiór się znajduje. Jako przykład niech posłuży koło

$K_2=\{(x,y)\in R^2:x^2+y^2\le 1\}.$

W naturalnej topologii przestrzeni $\mathbb R^2$ brzeg koła tworzy okrąg $K 2$ :

$\overline{K_2}=\{(x,y)\in R^2:x^2+y^2 = 1\}.$

Zanurzenie $K$ w $\mathbb R^3$ powoduje, iż koło

$K_3=\{(x,y,0)\in R^3:x^2+y^2\le 1\},$ jest swoim własnym brzegiem – $\mbox{bd}\, K_3 = K_3$ .

natomiast w topologii $\mathbb R^3$ zrelatywizowanej do $K$ jego brzeg jest zbiorem pustym.

edytuj Złożenia funkcji brzegu

Dla dowolnego zbioru $S$ mamy $\mbox{bd}\,S \supseteq \mbox{bd}(\mbox{bd}\, S)$ , przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy brzeg zbioru $S$ nie zawiera żadnych punktów wewnętrznych, tj. jest zbiorem brzegowym. Ma to miejsce na przykład wtedy, gdy $S$ jest zbiorem otwartym lub domkniętym. Z kolei, ponieważ brzeg jest zbiorem domkniętym, mamy $\mbox{bd}(\mbox{bd}\,S)=\mbox{bd}(\mbox{bd}(\mbox{bd}\,S))$ dla dowolnego zbioru $S$ .

Omawiane tu pojęcie brzegu różni się od tego, z którym spotykamy się w teorii rozmaitości lub topologii algebraicznej podczas badania kompleksów symplicjalnych.

edytuj Zobacz też

wnętrze, zewnętrze.