Całka podwójna.html

Całka podwójna to całka po dwóch zmiennych z funkcji dwóch zmiennych $z = f (x, y)$ :

$\iint\limits f(x,y) \;dx \;dy$

Całka ta ma interpretację objętości zawartej między płaszczyzną z=0 a powierzchnią $z = f (x, y)$

Jest szczególnym przypadkiem całki wielokrotnej.

edytuj Zamiana na całkę iterowaną

Jeżeli D jest obszarem normalnym względem osi OX $D=\{a\leq x \leq b; g(x)\leq y\leq h(x)\}$ to

$\iint\limits_D f(x,y) \;dx \;dy = \int\limits_a^b \bigg[ \int\limits_{g(x)}^{h(x)} f(x,y) \;dy\bigg] \;dx$

Analogicznie zamieniamy na całkę iterowaną całkę po obszarze normalnym względem osi OY. (Prostokąt jest obszarem normalnym zarówno względem osi OX, jak i OY.) Jeżeli obszar D nie jest obszaram normalnym, dzielimy go na obszary normalne.

edytuj Zamiana zmiennych

Jeżeli obszar regularny domknięty D jest obrazem obszaru regularnego domkniętego Ω we wzajemnie jednoznacznym przekształceniu

Φ = {x = x (u, v), y = y (u, v)}

które jest klasy C¹ w pewnym obszarze zawierającym obszar Ω
którego jakobian $J=\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix} x_{u} & x_{v}\\ y_{u} & y_{v} \end{vmatrix}$ jest różny od zera wewnątrz Ω

zaś f jest dowolną funkcją ciągłą w D, to

$\iint\limits_D f(x,y) \;dx \;dy = \iint\limits_\Omega f(x(u,v),y(u,v)) |J| \;du \;dv$

Uwaga. |J| oznacza wartość bezwzgledną jakobianu, zaś $x_{u}=\frac{\partial x}{\partial u}$ oznacza pochodną cząstkową.

edytuj Zobacz też

Zobacz publikację na Wikibooks:
Analiza matematyczna/Całka podwójna

całka powierzchniowa