Całka powierzchniowa.html

Całka powierzchniowa jest to całka, gdzie obszarem całkowania jest płat powierzchni.

Spis treści

1 Całka nieskierowana
2 Całka skierowana
3 Zobacz też

edytuj Całka nieskierowana

Inne nazwy to całka powierzchniowa funkcji skalarnej i całka powierzchniowa pierwszego rodzaju.

edytuj Definicja

Niech funkcja f(x, y, z) będzie określona i ciągła na powierzchni S.

Poprzez D oznaczamy rzut powierzchni S na płaszczyznę XY.

D dzielimy na podobszary $Δδ 1,Δδ 2,...,Δδ n$

$\Delta\delta_{i} \cap \Delta\delta_{j}=\empty$ dla każdego $i\not=j$

Poprzez $| Δδ i |$ oznaczamy pole $Δδ i$

$Δ S i$ odpowiada ta część powierzchni S której rzutem na płaszczyznę XY jest $Δδ i$

Na każdym $Δ S i$ obieramy dowolny P_i(x_i, y_i, z_i)

Rzutem P_i na OXY jest $(x_{i}, y_{i})\in\Delta\delta_{i}$

Tworzymy sumę $q_{n} = \sum_{i=1}^n f(P_{i})|\Delta S_{i}|$

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów obszaru D i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich (x_i, y_i, z_i) ciąg sum q_n dąży do tej samej granicy to granicę tę oznaczamy symbolem

$\iint\limits_{S}f(x, y, z)\;dS$

i nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną.

Znak dS to różniczka pola płata.

edytuj Obliczanie

edytuj Płat dany jawnie

Jeśli $z = \varphi(x, y)$ jest klasy C¹ w D, to

$\iint\limits_{S}f(x, y, z)\;dS = \iint\limits_{D}f[x, y, \varphi(x, y)]\sqrt{1+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)^2}\;dx\;dy$

edytuj Płat dany parametrycznie

Jeśli

$x = x (u, v); y = y (u, v); z = z (u, v)$ są klasy C¹ w D,
D jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką.
Różnym punktom wnętrza S odpowiadają różne punkty D
Wyrażenie $H = \begin{vmatrix} x_{u} & y_{u}\\ x_{v} & y_{v}\\ \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} y_{u} & z_{u}\\ y_{v} & z_{v}\\ \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} z_{u} & x_{u}\\ z_{v} & x_{v}\\ \end{vmatrix}^2$ jest różne od zera wewnątrz D.

Uwaga Jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej $\frac{D(x,y,z)}{D(u,v)}=\begin{bmatrix} x_{u} & y_{u} & z_{u}\\ x_{v} & y_{v} & z_{v} \end{bmatrix}$

$\iint\limits_{S}f(x, y, z)\;dS = \iint\limits_{D}f[x(u,v), y(u,v), z(u,v)]\sqrt{H}\;du\;dv$

edytuj Przykłady

Pole powierzchni S = $\iint\limits_{S}dS$

edytuj Całka skierowana

Inne nazwy to całka powierzchniowa składowej normalnej wektora, strumień wektora przez powierzchnię, całka powierzchniowa drugiego rodzaju.

edytuj Definicja

Niech funkcja F(x, y, z) = [X(x, y, z), Y(x, y, z), Z(x, y, z)] będzie określona i ciągła na powierzchni zorientowanej S.

Poprzez D oznaczamy rzut powierzchni S na płaszczyznę XY.

D dzielimy na podobszary $Δδ 1,Δδ 2,...,Δδ n$

$\Delta\delta_{i} \cap \Delta\delta_{j}=\empty$ dla każdego $i\not=j$

Poprzez $| Δδ i |$ oznaczamy pole $Δδ i$

$Δ S i$ odpowiada ta część powierzchni S której rzutem na płaszczyznę XY jest $Δδ i$

Na każdym $Δ S i$ obieramy dowolny P_i(x_i, y_i, z_i)

Rzutem P_i na OXY jest $(x_{i}, y_{i})\in\Delta\delta_{i}$

Tworzymy sumę $q_{n} = \sum_{i=1}^n F_{n}(P_{i})|\Delta S_{i}|$ , gdzie F_n jest składową wektora 'F normalną do $Δ S i$ .

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów obszaru D i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich (x_i, y_i, z_i) ciąg sum q_n dąży do tej samej granicy to granicę tę oznaczamy symbolem

$\iint\limits_{S} \mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{\;dS} = \iint\limits_{S} F_{n}(x, y, z)\;dS = \iint\limits_{S} Fcos(\mathbf{F},n)\;dS = \iint\limits_{S} (Xcos\alpha + Ycos\beta + Zcos\gamma)\;dS = \iint\limits_{S} X\;dy\;dz + Y\;dz\;dx + Z\;dx\;dy$

i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną.

Znak dS = [dydz, dzdx, dxdy] = [cos α, cos β, cos γ]dS to wektorowa różniczka płata.

edytuj Obliczanie

edytuj Płat dany jawnie

Jeśli $z = \varphi(x, y)$ jest klasy C¹ w D, to N=[-φ_x, -φ_y, 1] jest wektorem normalnym do S skierowanym zgodnie z osią OZ oraz

$\iint\limits_{S}\mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{\;dS} = \varepsilon\iint\limits_{D}\mathbf{F}(x, y, \varphi(x, y)) \cdot \mathbf{N} \;dx\;dy =$

$= \varepsilon\iint\limits_{D}\left[- X\left(x, y, \varphi(x, y)\right)\varphi_{x} - Y\left(x, y, \varphi(x, y)\right)\varphi_{Y} + Z(x, y, \varphi(x, y))\right]\;dx\;dy$

wtedy $\varepsilon = +1$ gdy płat S jest zorientowany zgodnie z osią OZ lub $\varepsilon = -1$ gdy jest zorientowany przeciwnie.

edytuj Płat dany parametrycznie

Jeśli

$x = x (u, v); y = y (u, v); z = z (u, v)$ są klasy C¹ w D,
D jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką.
Różnym punktom wnętrza S odpowiadają różne punkty D
Wyrażenie $H = |\mathbf{h}|^{2} = \begin{vmatrix} x_{u} & y_{u}\\ x_{v} & y_{v}\\ \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} y_{u} & z_{u}\\ y_{v} & z_{v}\\ \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} z_{u} & x_{u}\\ z_{v} & x_{v}\\ \end{vmatrix}^2$ jest różne od zera wewnatrz D.

Uwaga Jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej $\frac{D(x,y,z)}{D(u,v)}=\begin{bmatrix} x_{u} & y_{u} & z_{u}\\ x_{v} & y_{v} & z_{v} \end{bmatrix}$

$\iint\limits_{S} \mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{\;dS} = \varepsilon\iint\limits_{D} \mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{h}\;du\;dv = \varepsilon\iint\limits_{D} \begin{vmatrix} X & Y & Z\\ x_{u} & y_{u} & z_{u}\\ x_{v} & y_{v} & z_{v}\\ \end{vmatrix}\;du\;dv$

gdzie

$\mathbf{h} = [x_u, y_u, z_u] \times [x_v, y_v, z_v] = \bigg[\begin{vmatrix} x_{u} & y_{u}\\ x_{v} & y_{v}\\ \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} y_{u} & z_{u}\\ y_{v} & z_{v}\\ \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} z_{u} & x_{u}\\ z_{v} & x_{v}\\ \end{vmatrix}\bigg]$

ε=+1 gdy płat S jest zorientowany zgodnie z wektorem h. ε=-1 gdy jest zorientowany przeciwnie.

edytuj Dane 3 rzuty

Jeśli płat S można opisać wzorami x = x(y, z), y = y(z, x), z = z(x, y), gdzie funkcje x, y, z są określone w zbiorach S_yz, S_zx,S_xy, będących rzutami S na OYZ, OZX, OXY to

$\iint\limits_{S}\mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{\;dS} = \iint\limits_{S} X\;dy\;dz + Y\;dz\;dx + Z\;dx\;dy = \varepsilon_x\iint\limits_{S_{yz}} X(x(y, z), y, z)\;dy\;dz + \varepsilon_y\iint\limits_{S_{zx}} Y(x, y(z, x), z) \;dy\;dz + \varepsilon_z\iint\limits_{S_{xy}} X(x, y, z(x, y))\;dy\;dz$

ε_x=+1, ε_y=+1, ε_z=+1 gdy płat S jest zorientowany zgodnie z odpowiednią osią, a -1 gdy jest zorientowany przeciwnie. ε_x*ε_z=+1 <=> z_x<0 itd.

Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna całka podwójna.
Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów.
Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia.

edytuj Przykłady

Całka powierzchniowa zorientowana występuje na przykład w prawie Gaussa (dla elektryczności, a także magnetyzmu i grawitacji) i prawie Ampère'a.

Całka powierzchniowa.html

Spis treści

edytuj Całka nieskierowana

edytuj Definicja

edytuj Obliczanie

edytuj Płat dany jawnie

edytuj Płat dany parametrycznie

edytuj Przykłady

edytuj Całka skierowana

edytuj Definicja

edytuj Obliczanie

edytuj Płat dany jawnie

edytuj Płat dany parametrycznie

edytuj Dane 3 rzuty

edytuj Przykłady

edytuj Zobacz też