Całka wielokrotna.html

Całka wielokrotna stopnia n, to całka po n zmiennych z funkcji n zmiennych:

$\iiint \cdots \int f(x_1,x_2,x_3,\cdots x_n ) \;dx_1 \;dx_2 \;dx_3 \cdots \;dx_n$

Szczególne przypadki całki wielokrotnej, to:

całka podwójna:

$\iint f(x,y) \;dx \;dy$

całka potrójna:

$\iiint f(x,y,z) \;dx \;dy \;dz$

edytuj Całka potrójna

Całka ta ma interpretację masy zawartej w bryle o gęstości $ρ = f (x, y, z)$

edytuj Zamiana na całkę iterowaną

Jeżeli V jest odpowiednim obszarem normalnym $V=\{a\leq x \leq b; g(x)\leq y\leq h(x); p(x,y)\leq z\leq q(x,y)\}$ to

$\iiint\limits_V f(x,y,z) \;dx \;dy \;dz = \int\limits_a^b \bigg[ \int\limits_{g(x)}^{h(x)} \bigg[ \int\limits_{p(x,y)}^{q(x,y)} f(x,y,z) \;dz\bigg] \;dy\bigg] \;dx$

Jeżeli $V=\{(x,y \in D; p(x,y)\leq z\leq q(x,y)\}$ to

$\iiint\limits_V f(x,y,z) \;dx \;dy \;dz = \iint\limits_D \bigg[ \int\limits_{p(x,y)}^{q(x,y)} f(x,y,z) \;dz\bigg] \;dx \;dy$

Analogicznie zamianiamy na całkę iterowaną inne całki po obszarze normalnym, w szczególności po prostopadłościanie. Jeżeli obszar V nie jest obszaram normalnym, dzielimy go na obszary normalne.

edytuj Zamiana zmiennych

Jeżeli obszar regularny domknięty D jest obrazem obszaru regularnego domkniętego Ω w przekształceniu

Φ = {x = x (u, v, w), y = y (u, v, w), z = z (u, v, w)}

które jest klasy C¹ w pewnym obszarze zawierającym obszar Ω
którego jakobian $J=\frac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)}=\begin{vmatrix} x_{u} & x_{v} & x_{w}\\ y_{u} & y_{v} & y_{w}\\ z_{u} & z_{v} & z_{w} \end{vmatrix}$ jest różny od zera wewnątrz Ω

zaś f jest dowolną funkcją ciągłą w D, to

$\iint\limits_D f(x,y,z) \;dx \;dy \;dz = \iint\limits_\Omega f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) |J| \;du \;dv \;dw$

Uwaga. |J| oznacza wartość bezwzgledną jakobianu, zaś $x_{u}=\frac{\partial x}{\partial u}$ oznacza pochodną cząstkową.