Ciągłość jednostajna.html

Jednostajna ciągłość jest własnością pewnej klasy funkcji, określonych między przestrzeniami metrycznymi.

Spis treści

1 Definicja
2 Wnioski i twierdzenia dotyczące funkcji jednostajnie ciągłych
3 Uogólnienie na przestrzenie liniowo-topologiczne
4 Zobacz też

edytuj Definicja

Niech $(X,\varrho), (Y, \sigma)$ będą przestrzeniami metrycznymi. Mówimy, że $f \colon X \longrightarrow Y$ jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko, gdy

$\bigwedge_{\varepsilon>0} \bigvee_{\delta>0} \bigwedge_{x, y \in X}$ $\left[ \varrho(x,y) < \delta \Rightarrow \sigma(f(x),f(y))<\varepsilon \right]$

edytuj Wnioski i twierdzenia dotyczące funkcji jednostajnie ciągłych

Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła.
Jeśli $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest ciągiem Cauchy'ego elementów $X$ oraz $f$ jest jednostajnie ciągła, to ciąg $(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ jest również ciągiem Cauchy'ego.
Jeśli funkcja spełnia warunek Lipschitza, to jest jednostajnie ciągła.
Twierdzenie Heinego–Cantora: Każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła.
W szczególności, każda funkcja określona i ciągła na przedziale domkniętym $a, b$ jest jednostajnie ciągła - na przedziale otwartym już tak nie musi być, na przykład funkcja $y = {1\over x}$ na przedziale $(0,\,1)$ jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła. Jeśli jednak granice funkcji na otwartych końcach przedziału istnieją, to na takim przedziale funkcja również będzie jednostajnie ciągła.

edytuj Uogólnienie na przestrzenie liniowo-topologiczne

Niech $U, V$ będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówimy, że odzworowanie $f\colon U\longrightarrow V$ jest jednostajnie ciągłe, jeśli dla każdego otoczenia $B$ zera przestrzeni $V$ istnieje otoczenie $A$ zera przestrzeni $U$ takie, że

$v_1-v_2\in A \Rightarrow f(v_1)-f(v_2)\in B$

Ciągłość jednostajna.html

Spis treści

edytuj Definicja

edytuj Wnioski i twierdzenia dotyczące funkcji jednostajnie ciągłych

edytuj Uogólnienie na przestrzenie liniowo-topologiczne

edytuj Zobacz też