Ciało zbiorów.html

Ciało zbiorów to rodzaj obiektów w matematyce studiowanych głównie w teorii mnogości, teorii algebr Boole'a, w mniejszym stopniu w teorii miary, probabilistyce, topologii i kombinatoryce.

Spis treści

1 Definicja
2 Proste przykłady i podstawowe własności
3 Przykłady ciał rozważanych w matematyce
4 Algebry Boole'a
5 Zobacz też

edytuj Definicja

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina ${\mathcal F}$ podzbiorów przestrzeni $X$ jest ciałem zbiorów na $X$ (albo algebrą zbiorów na $X$ ), jeśli są spełnione następujące warunki:

zbiór pusty należy do ${\mathcal F}$ ,
dopełnienie zbioru należącego do ${\mathcal F}$ należy do ${\mathcal F}$ ,
suma dwóch zbiorów należących do ${\mathcal F}$ należy do ${\mathcal F}$ .

edytuj Proste przykłady i podstawowe własności

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem.

Następujące rodziny podzbiorów $X$ są ciałami na $X$ :

rodzina wszystkich podzbiorów zbioru $X$ ,
rodzina złożona ze zbioru pustego i zbioru $X$ ,
rodzina ${\mathcal F}_A=\{A,X\setminus A,\emptyset,X\},$ gdzie $A$ jest dowolnym podzbiorem $X$ ,
każde σ-ciało podzbiorów $X$ .

Zachodzą następujące twierdzenia:

Każde ciało na $X$ jest zamknięte na dowolne skończone przekroje i sumy.
Przekrój dowolnej rodziny ciał na $X$ jest znów ciałem zbiorów.
Dla dowolnej rodziny ${\mathcal A}$ podzbiorów zbioru $X$ istnieje najmniejsze ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory tej rodziny. Nazywamy je ciałem generowanym przez tę rodzinę.
Przypuśćmy, że ${\mathcal F}$ jest ciałem podzbiorów $X$ , a ${\mathcal I}$ jest ideałem podzbiorów $X$ . Wówczas ciało generowane przez ${\mathcal F}\cup{\mathcal I}$ to rodzina

$\big\{A\dot{-} B:A\in {\mathcal F}\ \wedge\ B\in {\mathcal I}\big\},$

gdzie $\dot{-}$ oznacza operację różnicy symetrycznej.

edytuj Przykłady ciał rozważanych w matematyce

Jeśli $(X,τ)$ jest przestrzenią topologiczną, to rodzina otwarto-domkniętych podzbiorów $X$ tworzy ciało. (Ciała tego typu są rozważane głównie dla przestrzeni zerowymiarowych.)
Przypuśćmy że $(X,\leq^*)$ jest porządkiem liniowym w którym istnieje element najmniejszy. Dla $x,y\in X\cup \{\infty\}$ takich że $x < * y$ określamy $[x,y)=:\{z\in X:x\leq^* z<^*y\}$ . (Jak zwykle, element $\infty$ jest traktowany jako element większy niż wszystkie punkty z $X$ .) Niech ${\mathcal F}$ będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych podzbiorów $X$ które mogą być przedstawione jako $[x_0,y_0)\cup\ldots\cup [x_k,y_k)$ dla pewnych elementów $x_0,y_0,\ldots,x_k,y_k\in X\cup\{\infty\}$ spełniających nierówności $x_0<^*y_0<^*x_1<^*y_1<^*\ldots<^*x_k<^*y_k$ , $k\in {\mathbb N}$ . Wówczas ${\mathcal F}$ jest ciałem podzbiorów $X$ ; jest to ciało generowane przez przedziały $x, y)$ dla $x,y\in X\cup\{\infty\}$ .

edytuj Algebry Boole'a

Jeśli ${\mathcal F}$ jest ciałem zbiorów na $X$ , to $({\mathcal F},\cup,\cap,{}^\prime,\emptyset,X)$ jest algebrą Boole'a.
Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a mówi, że każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole'a). Dokładniej mówiąc, algebra Boole'a ${\mathbb B}$ jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni ultrafiltrów na ${\mathbb B}$ (tzw przestrzeni Stone'a algebry ${\mathbb B}$ ). Twierdzenie Stone'a nie może być udowodnione przy użyciu tylko ZF - wymaga ono założenia pewnej formy aksjomatu wyboru (rozszerzalności ideałów w algebrach Boole'a do ideałów pierwszych).