Cykl (teoria grafów).html

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia
graf
drzewo
podgraf
cykl
klika
stopień wierzchołka
dopełnienie grafu
obwód grafu
pokrycie wierzchołkowe
liczba chromatyczna
indeks chromatyczny
izomorfizm grafów
homeomorfizm grafów

więcej...

Wybrane klasy grafów
graf pełny
graf spójny
drzewo
graf dwudzielny
graf regularny
graf eulerowski
graf hamiltonowski
graf planarny

więcej...

Algorytmy grafowe
A*
Bellmana-Forda
Breadth-first search
Depth-first search
Dijkstry
Fleury'ego
Floyda-Warshalla
Johnsona
Kruskala
Prima
przeszukiwanie grafu
najbliższego sąsiada

Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe
problem komiwojażera
problem chińskiego listonosza
problem kojarzenia małżeństw

Inne zagadnienia
kod Graya
diagram Hassego

edytuj ten szablon

edytuj Rodzaje cykli

Cykl to droga (inaczej: ścieżka prosta) zamknięta, czyli taka, której koniec (ostatni wierzchołek) jest identyczny z początkiem (pierwszym wierzchołkiem).

Cykl prosty – cykl, w którym żaden wierzchołek się nie powtarza:

$v_1, v_2, v_3, \dots, v_n, v_1, \qquad \forall_{(i \ne j)} v_i \ne v_j$

Cykl Hamiltona – cykl prosty przebiegający przez wszystkie wierzchołki grafu.

Cykl Eulera – cykl zawierający wszystkie krawędzie grafu i przechodzący przez nie dokładnie 1 raz.

Cykl własny – w multigrafie cykl złożony z jednej krawędzi, która zaczyna się i kończy w tym samym wierzchołku (zwany też pętlą własną wierzchołka).

edytuj Twierdzenie

Jeżeli najmniejszy stopień wierzchołka w grafie $G$ jest nie mniejszy niż $2$ , to graf $G$ zawiera cykl.

edytuj Dowód twierdzenia

Oznaczmy najmniejszy stopień wierzchołka w grafie $G$ przez $δ$ . Na podstawie lematu o uściskach dłoni wiemy, że:

$2m = \deg(v_1) + \dots + \deg(v_n)$ .

Ponieważ każdy wierzchołek grafu $G$ (z założenia) jest stopnia co najmniej $2$ , możemy zapisać, że:

$\deg(v_1) + \dots + \deg(v_n) \ge n\delta \ge 2n$ .

Po przekształceniu otrzymujemy:

$2m \ge 2n \Longrightarrow m \ge n$ .

Jak widać, liczba krawędzi w grafie ( $m$ ) jest większa lub równa od liczby wierzchołków ( $n$ ). Łatwo widać, że wobec tego w grafie $G$ występuje przynajmniej jeden cykl, co kończy dowód.

Wyjaśnienie: stworzenie ścieżki o $n$ wierzchołkach (nie zawierającej cykli) pozwala "zużyć" do połączenia co najwyżej $n - 1$ krawędzi. Ostatnia, $n$ -ta krawędź, jaką musimy "dołożyć" do grafu zgodnie z założeniami, utworzy cykl.