Czworobok zupełny.html



Czworobok zupełny – figura geometryczna złożona z czterech prostych, z których żadne trzy nie mają wspólnego punktu, ważna dla geometrii rzutowej.

Czworobok zupełny z zaznaczonymi prostymi przekątnymi (linie przerywane), punktami przekątnymi (białe kółka) i pomarańczową linią M łączącą środki odcinków prostych przekątnych wyznaczonych przez wierzchołki czworoboku

edytuj Nazewnictwo

Proste, z których składa się czworobok zupełny, nazywamy jego bokami, a sześć punktów ich przecięcia – wierzchołkami. Trzy proste, które nie są bokami, a które przechodzą przez dwa wierzchołki czworoboku nazywamy prostymi przekątnymi, a punkty ich przecięcia to punkty przekątne.

edytuj Własności

• Na każdej prostej przekątnej leżą dwa wierzchołki czworoboku i dwa jego punkty przekątne. Para wierzchołków i para punktów przekątnych dzielą się harmonicznie, tj. dwustosunek tych par wynosi − 1.
• Środki odcinków przekątnych wyznaczonych przez wierzchołki na nich leżące są współliniowe. Co więcej, Izaak Newton udowodnił, że na tej samej prostej M leży ognisko krzywej stożkowej stycznej do wszystkich boków czworoboku.
• Ortocentra czterech trójkątów wyznaczonych przez boki czworoboku zupełnego wszystkie leżą na jednej prostej prostopadłej do M. Plücker pokazał, że okręgi, których średnicami są odcinki przekątnych wyznaczone przez wierzchołki czworoboku mają dwa wspólne punkty, które również leżą na tej prostej.
• Okręgi opisane na trójkątach wyznaczonych przez trójki boków czworoboku mają punkt wspólny.

edytuj Zobacz też

• dwustosunek
• geometria rzutowa
• czworokąt zupełny – figura dualna do czworoboku zupełnego

edytuj Źródła

• Weisstein, Eric W. – "Complete Quadrilateral." na MathWorld [1]
• Stark, M. – "Geometria analityczna" w: Monografie matematyczne, t. 26, Warszawa-Wrocław 1951 [2], rozdział XVII, ss. 442—445