Domknięcie (matematyka).html

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Uwagi
2 Własności
- 2.1 Dalsze własności
3 Operacja domknięcia a topologia
4 Przykłady
5 Literatura
6 Zobacz też
7 Przypisy

Domknięcie, operacja domknięcia - w topologii, operacja przyporządkowująca podzbiorowi przestrzeni topologicznej najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór domknięty zawierający ten podzbiór.

edytuj Definicja

Niech $(X,τ)$ będzie przestrzenią topologiczną. Domknięciem zbioru $A \subseteq X$ nazywamy najmniejszy w sensie inkluzji zbiór domknięty, oznaczany $\overline A$ lub $\operatorname{cl}\;A$ ^[1], zawierający $A$ . Innymi słowy:

$\operatorname{cl}\;A = \bigcap \{F \subseteq X\colon A \subseteq F \and X \setminus F \in \tau\}$ .

edytuj Uwagi

Operacja domknięcia (określona na zbiorze potęgowym przestrzeni topologicznej) jest dobrze określona, gdyż rodzina wszystkich zbiorów domkniętych zawierających dany podzbiór przestrzeni jest niepusta, ponieważ należy do niej cała przestrzeń.
W dowolnym zbiorze $X$ można określić topologię, wyróżniając przy pomocy tzw. operacji Kuratowskiego rodzinę zbiorów domkniętych.
Jeśli X jest przestrzenią topologiczną oraz , to następujące warunki są równoważne:
1. $x \in \operatorname{cl}\;A$ ,
2. dla każdej bazy otoczeń $\mathcal B(x)$ punktu $x$ i każdego $U \in \mathcal B(x)$ mamy $U \cap A \ne \varnothing$ ,
3. dla pewnej bazy otoczeń $\mathcal B(x)$ punktu $x$ i każdego $U \in \mathcal B(x)$ mamy $U \cap A \ne \varnothing$ .
Jeśli $(X, d)$ jest przestrzenią metryczną oraz $A \subseteq X$ , to

$\operatorname{cl}\;A = \{x \in X\colon d(x, A) = 0\}$ , gdzie przez

d (x, A)

rozumie się odległość punktu od zbioru.

Jeżeli $X$ jest przestrzenią spełniającą pierwszy aksjomat przeliczalności (np. przestrzenią metryczną) oraz $A \subseteq X$ , to

$x \in \operatorname{cl}\;A \iff x$ jest granicą ciągu o wyrazach ze zbioru

A

. Formalnie:

$x \in \operatorname{cl}\;A \iff \exists_{(x_n)_{n \in \mathbb N} \in A^\mathbb N}~x = \lim_{n \to \infty}~x_n$ .

Z poprzedniego warunku mamy: w przestrzeni metrycznej domknięcie zbioru jest zbiorem wszystkich granic ciągów należących do danego zbioru. Okazuje się, że można sformułować podobny warunek dla dowolnej przestrzeni topologicznej $X$ :

Jeśli $A\subseteq X$ , to $x \in \operatorname{cl}\;A \iff x$ jest granicą ciągu uogólnionego o wyrazach ze zbioru

A

edytuj Własności

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $A, B\subseteq X$ .

$\operatorname{cl}\;\varnothing = \varnothing$
$A \subseteq \operatorname{cl}\;A$ ,
$\operatorname{cl}(A \cup B) = \operatorname{cl}\;A \cup \operatorname{cl}\;B$
$\operatorname{cl}(\operatorname{cl}\;A) = \operatorname{cl}\;A$ (idempotentność).

edytuj Dalsze własności

$\operatorname{cl}\;X = X$ ,
$A\$ jest domknięty $\iff A = \operatorname{cl}\;A$ ,
$A \subset B \implies \operatorname{cl}\;A \subset \operatorname{cl} B$ (monotoniczność),
; ta własność uogólnia się do przeliczalnej liczby zbiorów:
1. Ogólniej, jeśli $(A_i)_{i\in I}$ jest przeliczalną rodziną podzbiorów $X$ , to
  $\quad\operatorname{cl}\;\bigcap_{i \in I}~A_i \subseteq \bigcap_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i$ .
Jeśli $(A_i)_{i\in I}$ jest rodziną podzbiorów zbioru $X$ , to
$\quad \bigcup_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i \subset \operatorname{cl}\;\bigcup_{i \in I}~A_i$ .
Jeśli $(A_i)_{i\in I}$ jest rodziną lokalnie skończoną podzbiorów zbioru $X$ , to
$\quad \bigcup_{i \in I}~\operatorname{cl}\;A_i = \operatorname{cl}\;\bigcup_{i \in I}~A_i$ .
Domknięcie zbioru jest sumą mnogościową tego zbioru oraz jego brzegu.
Jeśli $Y$ jest podprzestrzenią topologiczną $X$ , zawierającą $A$ , to domknięcie $A$ w przestrzeni $Y$ jest równe części wspólnej $Y$ i domknięcia $A$ w przestrzeni $X$ : $\operatorname{cl}_Y(A) = Y\cap \operatorname{cl}_X(A)$ .
Dla każdego $A \subset X$ mamy
$\operatorname{cl}\; A = X \setminus \operatorname{Int}\; (X \setminus A)$

edytuj Operacja domknięcia a topologia

Jeżeli operację brania domknięcia zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia cztery pierwsze własności, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację domknięcia w zbiorze $X$ . ^[2]

edytuj Przykłady

W topologii antydyskretnej (czyli takiej, w której jedynymi zbiorami otwartymi są $\varnothing$ i $X$ ), domknięciem dowolnego zbioru niepustego jest cała przestrzeń, innymi słowy, każdy niepusty podzbiór tej przestrzeni jest gęsty.
W topologii euklidesowej, na prostej rzeczywistej domknięciem
- przedziału otwartego $(0,1)$ jest przedział domknięty $[0,1]$ .
- zbioru liczb wymiernych jest $\mathbb R$ .
W przestrzeniach metrycznych, domknięcie danego zbioru stanowią wszystkie granice ciągów elementów tego zbioru.

edytuj Literatura

Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976.

edytuj Zobacz też

Przypisy

↑ od ang. closure
↑ Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 36.