Dopełnienie (matematyka).html

Diagram Venna: A^c jest dopełnieniem

A

względem U.

Dopełnienie zbioru – dla danego zbioru zbiór elementów pewnego ustalonego jego nadzbioru, które do niego nie należą. W starszych pozycjach^[1] można spotkać się z nazwą uzupełnienie zbioru.

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
3 Przykłady
4 Przypisy
5 Bibliografia
6 Zobacz też

edytuj Definicja

Niech dany będzie zbiór $U$ , zywany dalej przestrzenią, zbiorem uniwersalnym lub uniwersum, oraz jego podzbiór $A \subseteq U$ . Dopełnieniem zbioru $A$ w $U$ nazywa się różnicę

$U \setminus A = \{x \in U\colon x \notin A\}$ ,

oznaczaną zwykle symbolami $A^\operatorname c$ lub $A^\prime$ , a w starszych pozycjach także $\complement_U A$ lub, jeśli $U$ jest znane, krótko $\complement A$ .

Niekiedy spotyka się również oznaczenie $- A$ , jednak jeżeli $A$ jest zbiorem, na którym określono pewną (addytywną) strukturę algebraiczną, to $- A$ może oznaczać wtedy $\{-a\colon a \in A\}$ .

edytuj Własności

Dla dowolnego uniwersum $U$ prawdziwe są równości

$\varnothing^\operatorname c = U, \quad U^\operatorname c = \varnothing$ .

Dla ustalonego $U$ i dowolnego $A \subseteq U$ zachodzi

$(A^\operatorname c)^\operatorname c = A$ ,

co oznacza, że operacja dopełnienia jest inwolucją.

Prawdą jest też, iż zbiór i jego dopełnienie są rozłączne,

$A \cap A^\operatorname c = \varnothing$ ,

a ich suma daje całe uniwersum,

$A \cup A^\operatorname c = U$ ,

co oznacza, że $\{A, A^\operatorname c\}$ jest rozbiciem zbioru $U$ .

Dla danych $A, B \subseteq U$ zachodzą prawa

$(A \cup B)^\operatorname c = A^\operatorname c \cap B^\operatorname c$ ,

$(A \cap B)^\operatorname c = A^\operatorname c \cup B^\operatorname c$ ,

znane jako prawa de Morgana^[2]. Dodatkowo

$B = A^\operatorname c$ pociąga $B^\operatorname c = A$ .

edytuj Przykłady

Dopełnieniem zbioru ${1,2}$ w zbiorze ${1,2,3}$ jest zbiór ${3}$ .
Dopełnieniem zbioru ${1,2,3}$ w zbiorze ${1,2}$ jest zbiór pusty $\varnothing$ .
Dopełnieniem zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych jest zbiór liczb niewymiernych.
Dopełnieniem prostej na płaszczyźnie euklidesowej jest suma dwóch rozłącznych otwartych półpłaszczyzn.

Dopełnieniem zbioru ${0,1,2}$ w przestrzeni liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych większych od $2$ , natomiast w przestrzeni ${ - 1,0,1,2,3,4,5}$ jest to zbiór ${ - 1,0,3,4,5}$ .

Przypisy

↑ np. w K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości
↑ Angielski logik Augustus De Morgan odkrył przedstawione prawa rachunku zbiorów. Analogiczne prawa rachunku zdań sformułowano później, ale zwykło się je nazywać również nazwiskiem de Morgana. A. Mostowski, Logika matematyczna, s. 100

edytuj Bibliografia

Rozdział I (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1952, s. 18. [dostęp 30.12.2008r.].
Rozdział IV. Algebra zbiorów i relacji (pdf). W: Andrzej Mostowski: Logika matematyczna. T. 18. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1948, ss. 96-97, 100. [dostęp 30.12.2008r.].

edytuj Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Liczby i ich zbiory