Dywan Sierpińskiego.html

Dywan Sierpińskiego po 6 krokach

Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów.

edytuj Definicja

Formalnie rzecz biorąc, oznacza to operację składającą się z nieskończonej ilości kroków, więc ściśle definiuje się w następujący sposób:

Dywan Sierpińskiego jest domknięciem zbioru punktów (x,y), 0≤x≤1, 0≤y≤1 takich, że w rozwinięciu liczb x i y w trójkowym systemie liczbowym nigdzie nie występuje cyfra 1 na tym samym miejscu po przecinku.

edytuj Wymiar fraktalny

Wymiar fraktalny dywanu Sierpińskiego wynosi ln 8/ln 3 = 1,8928...

edytuj Dywan jako krzywa

Zdumiewające jest to, że dywan Sierpińskiego jest krzywą według obecnie uznawanej definicji! Obecnie przyjmowana definicja krzywej jest równoważna (na płaszczyźnie) def. Cantora krzywych płaskich (zobacz art. krzywa).

edytuj Pole powierzchni

Można udowodnić, że pole powierzchni dywanu Sierpińskiego wynosi 0.

Dowód: W kolejnych krokach konstrukcji fraktala usuwamy za każdym razem 8ⁿ kwadratów o boku (1/3)ⁿ⁺¹ każdy, czyli polu (1/9)ⁿ⁺¹ każdy (n=0,1,2,...). Tym samym pole pozostałej figury po n+1 iteracjach wynosi:

$S_n=1-\frac{1}{9}\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{8}{9}\right)^k$

Suma tego szeregu geometrycznego wynosi w nieskończoności:

$\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{8}{9}\right)^k=\frac{1}{1-\frac{8}{9}}=9$

więc

$S_\infty=1-\frac{1}{9}\cdot 9=0$

edytuj Zobacz też

Zobacz galerię na Wikimedia Commons:
Dywan Sierpińskiego