Dzielenie przez zero.html

W matematyce dzielenie jest nazywane dzieleniem przez zero, jeśli dzielnik (liczba przez którą się dzieli) jest równy zero. Jest ono niewykonalne. Bywa ono źródłem błędów przy rozwiązywaniu zadań.

Spis treści

1 Dlaczego nie można dzielić przez zero
2 Zobacz też

edytuj Dlaczego nie można dzielić przez zero

edytuj Proste wytłumaczenie dla dzielenia liczb

Oczywiście można by zdefiniować działanie, które dla dowolnych liczb $a\;$ i $b\;$ :

dla $b\ne 0\;$ przyjmowałoby wartości takie jak zwykłe dzielenie,
dla $b=0\;$ przyjmowałoby np. zawsze wartość 0, lub jakąś inną, z góry ustaloną.

Od dzielenia oczekujemy jednak, że będzie działaniem odwrotnym do mnożenia, a więc żeby nasze działanie można było nazwać dzieleniem, dla dowolnych liczb $a\;$ i $b\;$ , które dają się podzielić, powinno zachodzić:

$b\cdot\frac{a}{b}=a$

W przypadku dzielenia przez zero równanie to przyjęłoby postać:

$0\cdot\frac{a}{0}=a$

Jednak dowolna liczba pomnożona przez zero daje zawsze zero, więc jeśli tylko $a\ne 0$ , to nie da się przyjąć takiej wartości $\frac{a}{0}$ , dla której to równanie byłoby prawdziwe (jest to wtedy równanie sprzeczne). Z kolei dla $a=0\;$ każda wartość podstawiona w miejsce $\frac{a}{0}$ spełniałaby to równanie (jest to wtedy równanie tożsamościowe). Jak więc widać nie da się jednoznacznie określić dzielenia tak, aby wykonalne było dzielenie przez zero i jednocześnie dzielenie było działaniem odwrotnym do mnożenia.

edytuj Interpretacja algebraiczna

W algebrze definiowana jest struktura algebraiczna zwana ciałem. Ciałami są m.in. zbiory liczb wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych. W definicji ciała zawarty jest warunek istnienia elementu odwrotnego dla każdego elementu należącego do grupy multiplikatywnej (czyli związanej z mnożeniem). Jednak element neutralny grupy addytywnej (czyli zero) nie należy do grupy multiplikatywnej i nie istnieje taka liczba $a=0^{-1},\;$ że $a \cdot 0 = 1$ , ponieważ $a \cdot 0 = 0$ , a w ciele zawsze $0 \not= 1.$

Dzielenie przez element zerowy jest niemożliwe w dowolnym ciele, nie tylko liczbowym. Gdyby istniało $x=\frac{a}{0}$ , wówczas zachodziłoby $x \cdot 0 = a$ . Taka równość nie jest jednak możliwa, jeśli $a\not=0\;$ . Jeśli zaś $a=0\;$ , to ta równość jest spełniona dla wszystkich $x\;$ i wówczas dzielenie nie mogłoby być jednoznaczne.

edytuj Interpretacja w analizie matematycznej

W analizie matematycznej przy obliczaniu granic ciągów i funkcji stosuje się symbol nieoznaczony $\tfrac{0}{0}$ . Oznacza on, że zarówno licznik, jak i mianownik pewnego ułamka dąży do zera. Wówczas, zgodnie z regułą de l'Hospitala granica ilorazu (przy spełnieniu pewnych dodatkowych warunków) jest równa granicy pochodnej z licznika podzielonej przez pochodną z mianownika. Symbol $\tfrac{0}{0}$ nie jest tu jednak formalnie dzieleniem przez zero.

Z podobnych powodów działanie $\tfrac{z}{0}=\infty,\ z\in\mathbb{C}-\{0\}$ jest określone dla tzw. uzwarconej płaszczyzny zespolonej, gdzie do zwykłego zbioru liczb zespolonych dołączono symbol nieskończoności. Działania na symbolu $\infty$ są jednak ograniczone, w szczególności nie definiuje się wyrażeń $0\cdot\infty,\ \infty-\infty$ , nie jest to więc tak naprawdę dzielenie (ponowne pomnożenie przez zero nie jest możliwe).