Element minimalny.html

Elementem minimalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym $(P, \leq)$ nazywamy każdy taki element $x$ , że nie ma w $P$ elementów mniejszych od niego. Symbolicznie:

$\forall y \in P : y \le x \Rightarrow x = y$ .

Dualnie, elementem maksymalnym w zbiorze częściowo uporządkowanym $(P, \leq)$ nazywamy każdy taki element $x$ , że nie ma w $P$ elementów większych od niego. Symbolicznie:

$\forall y \in P : x \le y \Rightarrow x = y$ .

edytuj Uwagi

W zbiorze częściowo uporządkowanym może istnieć więcej niż jeden element minimalny.
Element minimalny nie musi być najmniejszym. Jeśli jednak w zbiorze istnieje element najmniejszy, to jest on równocześnie minimalny, i jest to wtedy jedyny element minimalny w tym zbiorze. Jeżeli w zbiorze istnieje dokładnie jeden element maksymalny, to nie musi on być elementem największym.

Te same własności ma element maksymalny.

edytuj Przykłady

Rozważmy zbiór N∪{-1}, gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych, a relacja ~ częściowego porządku określona jest następująco:

$a\sim b\Leftrightarrow a\le b$ dla $a, b \in N$

$-1 \sim -1$

-1 jest jedynym elementem minimalnym tej relacji lecz nie jest elementem najmniejszym.

W zbiorze wszystkich rzek rozważmy relację częściowego porządku zdefiniowaną jako jest dopływem. Mamy na przykład:

"Białka" < "Dunajec" < "Wisła"

"Poprad" < "Dunajec" < "Wisła"

"Noteć" < "Warta" < "Odra"

Elementem maksymalnym w tym porządku jest każda rzeka, która nie jest dopływem innej rzeki – Wisła, Odra... Z przykładu widać, że istnieje wiele elementów maksymalnych i nie ma największego (byłaby nim rzeka, do której wpadają wszystkie inne).

Element minimalny.html

edytuj Uwagi

edytuj Przykłady

edytuj Zobacz też