Figury przystające.html

Ten artykuł wymaga uzupełnienia źródeł podanych informacji.
Aby uczynić go weryfikowalnym, należy podać przypisy do materiałów opublikowanych w wiarygodnych źródłach.

Przystawanie – cecha figur geometrycznych intuicyjnie rozumiana jako identyczność kształtu i wielkości. Dwie figury uważa się za przystające, jeśli istnieje izometria całej przestrzeni przekształcająca jedną figurę na drugą. Ponieważ każdą izometrię można rozłożyć na obroty i translacje, i ewentualnie symetrię, więc daje to wygodne kryterium rozpoznawania figur przystających:

Figury A i B są przystające, jeśli figurę B można otrzymać z figury A za pomocą skończonej liczby obrotów, przesunięć i symetrii. .

Izometrie nie tylko zachowują odległości ale także kąty. Dzięki temu przystawanie niektórych prostych figur, takich jak trójkąty (i ogólniej: wielokąty) można rozpoznać przy użyciu tzw. cech przystawania (patrz niżej).

Tak rozumiane przystawanie jest relacją równoważności.

Spis treści

1 Przystawanie w teoriach aksjomatycznych
2 Przystawanie figur
- 2.1 Cechy przystawania trójkątów i wielokątów
3 Przystawanie jako pojęcie wtórne
4 Izometrie
5 Przystawanie a miara
6 Przystawanie a metryka
7 Przypisy
8 Zobacz też

edytuj Przystawanie w teoriach aksjomatycznych

Podana definicja przystawania nie jest elegancka. Wady takiego podejścia można ująć następująco:

Jest wyjaśnianiem jakiegoś pojęcia innym, co najmniej tak samo złożonym. Uzależnianie zachodzenia przystawania np. dwóch trójkątów (czyli relacji między sześcioma punktami) od istnienia pewnej funkcji (czyli pojęcia nieelementarnego) wymaga teorii drugiego rzędu i w pewnym sensie narusza zasady hierarchii w systemie pojęć.
Sugeruje uzależnienie pojęcia przystawania od metryki (a tę izometria ma zgodnie z definicją zachowywać). Tymczasem metryka jest dość słabym narzędziem do uprawiania geometrii (patrz sekcję przystawanie a metryka).
Przy badaniu przystawania figur odwołanie się do izometrii całej płaszczyzny (przestrzeni) jest poglądowe, ale wymaga niepotrzebnie umieszczenia figur w tej samej przestrzeni metrycznej. Równie dobrze można każdą z figur oddzielnie uznać za autonomiczną przestrzeń metryczną tzn. izometrię wystarczy obciąć do tych figur.

Sposobem na oczyszczenie tego pojęcia ze zbędnego balastu pojęciowego jest wbudowanie go w aksjomatykę jako pojęcia pierwotnego. Tak to robi się w wielu klasycznych geometriach. Najczęściej jest wprowadzane jako czteroargumentowa relacja D(a,b,c,d), a zapis ten jest odczytywany następująco: "punkty a, b są w relacji przystawania z punktami c, d" lub krócej "odcinek ab przystaje do odcinka cd". Dla wygody stosuje się też bardziej czytelny i sugestywny zapis

$ab\equiv cd$

Oto podstawowe, wyjściowe aksjomaty opisujące relację D (za ^[1]):

$aa\equiv bb$
$aa\equiv pq \Rightarrow p=q$
$ab\equiv ba$
$ab\equiv pq \wedge ab\equiv rs \Rightarrow pq\equiv rs$

Z nich wynika m.in., że relacja D jest relacją równoważności w zbiorze odcinków tj.par punktów.

Odpowiednio dobrane aksjomaty są odbiciem naszych geometrycznych intuicji. Kluczowe są tutaj oksjomaty odkładania odcinka i trójkąta ^[1] (w opisowej formie):

Jeśli mamy dowolny odcinek ab, to na dowolnej półprostej o początku c można znaleźć dokładnie jeden punkt d taki, że odcinki cd i ab są przystające.
Jeśli mamy dowolny trójkąt abc, to na dowolnej półpłaszczyźnie, na krawędzi której znajduje się odcinek de przystający do ab, można znaleźć dokładnie jeden punkt f taki, że pozostałe dwa boki trókjąta def są przystające do odpowiednich boków trójkąta abc.

Zauważmy, że użyte pojęcia półprostej i półpłaszczyzny są poprawnie definiowalne dzięki innemu pojęciu pierwotnemu - trójargumentowej relacji B leżenia punktu między innymi dwoma.

Trzeba podkreślić, że nie należy rozumieć relacji D jako równej odległości (wyrażonej pewną liczbą rzeczywistą) między punktami albo – co byłoby jeszcze większym nadużyciem – jako równej długości dwóch odcinków. Tu chodzi jedynie o rozstrzyganie, czy dane dwie pary punktów są, czy nie są, w relacji D.

edytuj Przystawanie figur

Dla dwóch figur będących zbiorami skończonymi równolicznymi ich przystawanie oznacza przystawanie wszystkich par punktów (każdy z każdym) w jednym zbiorze z odpowiednią parą punktów w drugim. Zmusza to do enumeratywnego wypisania wszystkich przystawań.

Ściślej może to wyglądać następująco: jeśli mamy dwie figury A, B gdzie $A = (a 1, a 2,..., a n)$ , $B = (b 1, b 2,..., b n)$ dla pewnych numeracji elementów w zbiorach A i B to

$A\equiv B$ jeśli $\forall 1\leq i,j\leq n : a_ia_j\equiv b_ib_j$

Np. przystawanie trójkątów abc i a'b'c' (rozumianych jako zbiór wierzchołków) oznacza:

$ab\equiv a'b' \wedge bc\equiv b'c' \wedge ac\equiv a'c'$

co zapisuje się w skrócie:

$abc\equiv a'b'c'$

Zauważmy jeszcze, że najprostszą niepustą figurą jest figura jednopunktowa. I jest ona zgodnie z pierwszym wymienionym aksjomatem w poprzedniej sekcji przystająca do dowolnej innej jednopunktowej figury.

Na ogół wyliczanie wszystkich par punktów (każdy z każdym) jest zbędne. Tę oszczędność umożliwiają następujące dwa aksjomaty "redukcyjne" gwarantuące przystawanie brakujących par:

$B(abc)\wedge B(a'b'c') \wedge ab\equiv a'b' \wedge bc\equiv b'c' \Rightarrow ac\equiv a'c'$ $B(abc)\wedge B(a'b'c') \wedge abd\equiv a'b'd' \wedge bc\equiv b'c' \Rightarrow cd\equiv c'd'$

Przydatność dwóch powyższych aksjomatów można tak zilustrować:

Dla ustalenia przystawania dwóch figur składających się z n punktów należałoby (zgodnie z definicją) ustalić przystawanie $\tfrac {n(n-1)}{2}$ odcinków w jednej i drugiej figurze (każdy punkt z każdym punktem) co daje wielkość rzędu $\operatorname {O}(n^2)$ przystawań.

Dzięki aksjomatowi pierwszemu dla dwóch figur n-punktowych leżących na prostej wystarczy $\operatorname {O}(2\cdot n)$ przystawań
Dzięki obu aksjomatom dla dwóch figur n-punktowych leżących na płaszczyźnie wystarczy $\operatorname {O}(3\cdot n)$ przystawań.

Bazując na pojęciu przystawania dwóch par punktów łatwo jest zdefiniować relację przystawania kątów rozumianych jako para półprostych o wspólnym początku. Sprowadza się to do stwierdzenia przystawania odpowiednich trójkątów. Weźmy mianowicie dwa kąty AB oraz A'B' o wierzchołkach odpowiednio p i p'. Wówczas

$AB\equiv A'B'$ jeśli $\exists a,b,a',b': a\in A, b\in B, a'\in A', b'\in B', abp \equiv a'b'p'$

Tak proste zdefiniowanie przystawania kątów pozwala określać elementarnymi metodami np. kryteria przystawania wielokątów (w tym trójkątów).

Dla dwóch figur A, B będących zbiorami nieskończonymi (równolicznymi) niemożliwe jest wyliczenie przystawań każdych dwóch par punktów. Dla zapisania faktu przystawania tych figur ustala się wzajemnie jednoznaczną funkcję $f :A \rightarrow B$ z jednego zbioru na drugi zachowującą przystawanie poszczególnych par punktów:

$\forall x,y\in A : xy \equiv f(x) f(y)$

Mówimy wtedy, że funkcja $f$ realizuje przystawanie obu figur. Takie ujęcie odpowiada intuicji "przenoszenia" i "przykładania" pierwszej figury do drugiej.

edytuj Cechy przystawania trójkątów i wielokątów

Połączenie przystawania odcinków (jako par punktów) z przystawaniem kątów daje eleganckie i proste metody badania przystawania trójkątów:

Dwa trójkąty są przystające, jeśli zachodzi przystawanie odpowiednich elementów w trójkącie pierwszym i drugim.

Dobieramy te elementy wg jednej z poniższych cech:

(cecha BBB) wszystkie boki
(cecha BKB) dwa boki i kąt pomiędzy tymi bokami
(cecha BBK) dwa boki i kąt położony naprzeciw dłuższego z nich
(cecha KBK) dwa kąty i boki zawarte pomiędzy tymi kątami
(cecha BKK) dwa kąty i bok leżący naprzeciw jednego

Najbardziej znane i najwygodniejsze w użyciu są cechy 1, 2, 4.

Wszystkie powyżej omówione cechy dotyczą zarówno geometrii euklidesowej (parabolicznej) jak również eliptycznej i hiperbolicznej. Ostatnia z sześciu możliwych cech zachodzi jedynie w geometriach eliptycznej i hiperbolicznej:

6. (cecha KKK) wszystkie kąty

W geometrii euklidesowej warunek ten gwarantuje jedynie podobieństwo trójkątów (nie istniejące w pozostałych dwóch geometriach).

Ciekawsze cechy dla n-kątów (n>3)

cecha (BKBK....BKB) (n-1) boków i (n-2) kątów między nimi
cecha (KBKB....KBK) (n-1) kątów i (n-2) boków między nimi

cechy BBBB...BBB i KKKK...KKK nie sprawdzają się w żadnej z trzech geometrii, chociażby z tego powodu, że elementów w takich cechach jest za mało (musi ich być przynajmniej 2n-3, a liczba 2n-3 i tak w różnych cechach najczęściej okazuje się za mała).

edytuj Przystawanie jako pojęcie wtórne

Może się wydawać, że przystawanie jest fundamentalnym pojęciem (pierwotnym) każdej "porządnej" geometrii, niemożliwym do zastąpienia czymkolwiek innym, i że dopiero ta relacja przystawania tak naprawdę "geometryzuje" przestrzeń. Tymczasem możliwe są aksjomatyki, w których jest ona wtórna, definiowana przy użyciu innych pojęć.

W klasycznym (tu opisywanym) podejściu przystawanie dwóch odcinków jest równoważne istnieniu izometrii całej płaszczyzny przenoszącej jeden odcinek na drugi. Dokładniej: złożeniu dwóch symetrii osiowych (zawsze takie osie można dobrać). Okazuje się, że można zdefiniować symetrie osiowe bez użycia pojęcia przystawania.

Geometrię euklidesową można wprowadzić w oparciu o relację leżenia między B i relację prostopadłości dla prostych (albo alternatywnie: relację trójpunktową bycia lub nie trójkątem prostokątnym). Dysponując aksjomatem równoległości, definiujemy przystawanie dwóch odcinków leżących na wspólnej prostej. Dysponując prostopadłością wyznaczamy prostą L, przechodzącą przez zadany punkt p i prostopadłą do zadanej prostej P. Oznaczmy punkt przecięcia L i P przez q. Odkładając odcinek pq po drugiej stronie punktu q (relacja B i przed chwilą zdefiniowane przystawanie odcinków równoległych) dostajemy obraz punktu p w symetrii osiowej względem P.

Geometrię eliptyczną można wprowadzić w oparciu o relację rozdzielania dwóch par punktów i relację dopełnienia prostych do punktu (jedna z możliwych korelacji). Zamiast dopełnienia alternatywnie można to zrobić wprowadzając relację maksymalnego oddalenia dwóch punktów albo też relację prostopadłości dwóch prostych. Na modelu sferycznym dopełnieniem prostej sferycznej P byłby punkt sferyczny p wyznaczony przez wektor prostopadły do płaszczyzny określonej przez daną prostą P. Weźmy więc prostą P i jej dopełnienie p. Niech x będzie dowolnym punktem, q niech będzie rzutem punktu x ze środka p na prostą P. Obraz punktu x w symetrii względem osi P można wyznaczyć jako czwarty punkt harmoniczny tzn. taki punkt, dla którego zachodzi relacja harmoniczności H(p,q,x,y) czyli punkty p,q,x,y tworzą czwórkę harmoniczną. Dla wyznaczenia punktu harmonicznego wystarczy wykreślić pewną konfigurację prostych (tzw. czworobok zupełny).

Najbardziej zaskakująca jest możliwość, jaką daje geometria hiperboliczna. Tu można zdefiniować zarówno przystawanie jak i prostopadłość w oparciu jedynie o relację leżenia między B. Wprawdzie nie można tym pojęciem zdefiniować pojedynczej symetrii osiowej, ale już złożenie dowolnych dwóch symetrii osiowych można zastąpić trzema symetriami środkowymi (konstrukcja pewnego czworokąta Lamberta). A symetrię środkową konstruuje się, wyznaczając dwie proste zagradzające w kątach wierzchołkowych. Owe proste zagradzające są w naturalny sposób środkowo-symetryczne względem wierzchołka wspomnianych kątów.

edytuj Izometrie

Odpowiednikiem izometrii przenoszącej "przy okazji" dwie przystające figury jedną na drugą będzie tutaj funkcja zdefiniowana przy użyciu relacji D, która spełnia:

$xy \equiv f(x)f(y)\;$ dla każdych punktów $x,y\in V\;$

Funkcje takie także nazywa się izometriami. Najprostszą izometrią jest symetria (punktowa, osiowa, płaszczyznowa...). Złożenie dowolnych symetrii także jest izometrią. Również odwrotnie: każda izometria jest złożeniem skończonej liczby symetrii.

Dla dowolnych dwóch przystających figur funkcję realizującą przystawanie tych figur można rozszerzyć do izometrii całej przestrzeni V. Dlatego też wygodnie jest rozważać przystawanie jako efekt skończonej liczby stmetrii.

edytuj Przystawanie a miara

Każdą z wystarczająco bogatych geometrii (mających w arsenale co najmniej przystawanie D i relację B, bądź rozdzielania R) można rozwijać wprowadzając miarę tzn. funkcję $\phi :V\times V \rightarrow R$ przypisującą każdemu odcinkowi (tzn. parze punktów) przestrzeni V pewną liczbę rzeczywistą, spełniającą warunki:

$a\not=b \Rightarrow \phi (a,b)> 0$
$ab \equiv cd \Rightarrow \phi (a,b) = \phi (c,d)$
$B(abc ) \Rightarrow \phi (a,b) + \phi (b,c) = \phi(a,c)$

Dowodzi się, że istnieje tylko jedna miara (z dokładnością do czynnika liczbowego). Dowodzi się również, że funkcja $φ$ spełnia nierówność trójkąta:

$\phi (a,b) + \phi (b,c) \geq \phi(a,c)$ dla każdych punktów $a,b,c\in V$

W tym ujęciu każda izometria realizująca przystawanie figur albo całej płaszczyzny zachowuje miary odcinków (tj. wartości liczbowej).

Niemal tak samo wprowadza się miarę kątów. Przystawanie oznacza więc jednoczesne zachowanie miary kątów.

Zachowane są także: kąty między krzywymi, krzywizny i skręcenia krzywych, długości krzywych, pola powierzchni, oraz inne miarowe wielkości o ile tylko wszystkie je można poprawnie zdefiniować. Szczególnie ciekawa jest tutaj teoria pola wielokątów będących sumą składowych trójkątów. A jeśli chodzi o pole trójkątów to w geometrii euklidesowej pole jest prostą funkcją miar boków, w geometriach eliptycznej i hiperbolicznej pole jest funkcją kątów ( tzw. defekt trójkąta).

Uwaga: Nie należy mylić użytego tutaj pojęcia miary jako funkcji określonej na parach punktów lub na parach półprostych o wspólnym wierzchołku z miarą jako funkcją przeliczalnie addytywną określoną na σ-ciele podzbiorów danego zbioru.

edytuj Przystawanie a metryka

Wyżej zdefiniowana miara jest metryką (skoro spełnia m.in. nierówność trójkąta) i czyni to z każdego modelu geometrii przestrzeń metryczną. Przypomnijmy definicję metryki:

$\rho (a,b)\geq 0 \wedge \rho(a,b)=0\Leftrightarrow a=b$
$\forall a,b (\rho (a,b) = \rho (b,a) )$
$\forall a,b,c (\rho (a,b) + \rho (b,c) = \rho(a,c) )$

Funkcje zachowujące metrykę nazywane są (także) izometriami. Niestety, z punktu widzenia geometrii, definicja metryki jest zbyt ogólna i jeśli nie uwzględnia drugiego i trzeciego z warunków definicji miary wzmocnionych do postaci:

$ab \equiv cd \Leftrightarrow \rho (a,b) = \rho (c,d)$

$B(abc ) \Leftrightarrow \rho (a,b) + \rho (b,c) = \rho(a,c)$

to metryka taka nie ma pewnego geometrycznego waloru i może sprawiać niespodzianki.

Niektóre metryki mogą bowiem nie dopuścić do istnienia środka odcinka, okrąg może nie przypominać okręgu (może pokrywać całą przestrzeń bez punktu), a zbiór punktów, dla których suma odległości (w sensie metryki) od dwóch zadanych punktów jest stała może się okazać kwadratem zamiast odcinkiem.

Jeśli więc przy rozpatrywaniu przystawania figur powołujemy się na metrykę (i izometrię) to ma to geometryczny sens tylko wtedy, gdy metryka ta spełnia coś więcej niż swoje trzy aksjomaty.

Przypisy

↑ ^1,0 ^1,1 K. Borsuk, W. Szmielew "Podstawy geometrii" BM 10: