Formuła Eulera-Maclaurina.html

W matematyce, wzór Eulera-Maclaurina daje silne połączenie między liczbami całkowitymi (zobacz rachunek różniczkowy i całkowy) a sumami. Może być użyty do przybliżania liczb całkowitych przez skończone sumy lub odwrotnie; do oszacowywania skończonych sum i nieskończonych serii liczbami całkowitymi i operacjami rachunku różniczkowego. Wzór został odkryty niezależnie przez Leonharda Eulera i Colina Maclaurina około 1735. Euler potrzebował go do obliczenia wolno zbiegających nieskończonych serii podczas gdy Maclaurin wykorzystał go do obliczania liczb całkowitych.

Jeśli n jest liczbą naturalną i f(x) jest gładką (tzn. wystarczająco często różniczkowalną) funkcją zdefiniowaną dla wszystkich liczb rzeczywistych x pomiędzy 0 i n, wtedy całka

$I=\int\limits_0^n f(x)\,dx$

może być przybliżona przez sumę

$S=\frac{f\left( 0\right) }{2}+f\left( 1\right) +\cdots+f\left( n-1\right) + \frac{f\left( n\right) }{2}$

Możemy użyć dwóch wyrażeń dla $S$ :

$S=-\frac{f\left( 0\right) +f\left( n\right) }{2}+\sum_{k=0}^{n}f\left( k\right)$

lub

$S=\frac{f\left( 0\right) +f\left( n\right) }{2}+\sum_{k=1}^{n-1}f\left( k\right)$

(zobacz wzór trapezów). Wzór Eulera-Maclaurina pozwala wyrażać różnicę pomiędzy sumą a liczbą całkowitą w postaci wyższych pochodnych f^(k) w końcowych punktach przedziału 0 i n. Dla każdej liczby naturalnej p mamy

$S-I=\sum_{k=1}^p\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R$

gdzie B₂ = 1/6, B₄ = −1/30, B₆ = 1/42, B₈ = −1/30, … są liczbami Bernoulliego.

R jest wartością błędu, który zwykle jest mały jeśli p jest odpowiednio duże i może być oszacowany jako

$\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2p}}\int\limits_0^n\left|f^{(2p+1)}(x)\right|\,dx.$

Wykorzystując regułę zastępowania, można zaadaptować ww. wzór również dla funkcji f zdefiniowanych na innych przedziałach na osi rzeczywistej. Jeśli f jest wielomianem oraz p jest wystarczająco duże, to wyraz reszty znika. Np. jeśli f(x) = x³, możemy podstawić p = 2 by otrzymać (po uproszczeniu)

$\sum_{i=0}^n i^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.$

Dla funkcji f(x) = log(x), formuła Eulera-Maclaurina może być użyta do wyliczenia precyzyjnego oszacowania błędu we wzorze Stirlinga przybliżającym wartość silni.

edytuj Linki zewnętrzne

Bernoulli numbers, polynomials and applications of the Euler-Maclaurin formula