Funkcja Carmichaëla.html

Funkcje matematyczne

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja λ Carmichaëla – funkcja określona dla dodatnich liczb całkowitych, której wartością dla danej liczby n jest najmniejsza liczba, taka, że liczba względnie pierwsza z n podniesiona do potęgi przystaje do 1 mod n.

$\forall_{k<n} \big[\mbox{NWD}(k,n)=1 \Rightarrow k^{\lambda(n)}\mbox{mod } n = 1\big]$

gdzie NWD to największy wspólny dzielnik a "mod n" - reszta z dzielenia przez n.

Spis treści

1 Definicja formalna
2 Własności
3 Twierdzenie Carmichaëla - związek funkcji z Małym Twierdzeniem Fermata
4 Przykład zastosowania funkcji Carmichaëla
5 Funkcja Carmichaëla i funkcja Eulera
6 Wartości dla 25 początkowych liczb naturalnych
7 Wartości dla 7 najmniejszych liczb Carmichaëla
8 Bibliografia
9 Zobacz też

edytuj Definicja formalna

Ścisła definicja funkcji Carmichaëla jest taka, że dla danej liczby n, λ(n) to taka liczba, że:

$\forall_{k<n,\ NWD(k,n)=1}\ k^{\lambda(n)}\ mod\ n = 1$

gdzie NWD to największy wspólny dzielnik a "mod n" - reszta z dzielenia przez n.

Wychodząc od pojęcia grupy, pojęcie funkcji Carmichaëla można wprowadzić dużo naturalniej. Mianowicie, jeżeli rozważymy multiplikatywną grupę klas reszt modulo n ( $Z_n^*$ ) z działaniem mnożenia modulo n to:

$\forall_{x \in Z_n^*}\ x^k \equiv 1 \Rightarrow k \geq \lambda(n)$

przy czym powyższe potęgowanie należy rozumieć jako składanie działania z grupy.

edytuj Własności

Poniżej λ-oznacza funkcję Carmichaёla, φ-funkcję Eulera.

edytuj Ścisły wzór

Ścisły wzór na funkcję λ jest następujący (w poniższym wzorze p_i to dla różnych indeksów różne liczby pierwsze, a α_i - liczby naturalne):

$\lambda(n) = \left\{ \begin{matrix} \phi(n) & n=p_i^{\alpha_i},\ p_i>2 \or \alpha_i<3 \\ \frac{\phi(n)}{2} & n=2^{\alpha_i},\ \alpha_i>2 \\ NWW \big(\phi(p_1^{\alpha_1}),\ldots,\phi(p_n^{\alpha_n})\big) & n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i} \end{matrix} \right.$

przy czym φ - funkcja Eulera, a NWW - Najmniejsza wspólna wielokrotność.

edytuj Oszacowania

Dla dowolnej liczby naturalnej k zachodzi oszacowanie górne:

$\lambda(k) \leq \phi(k)$

Natomiast zachodzi również nietrywialne oszacowanie górne dla nieskończenie wielu n:

$\lambda(n) < \ln(n)^{3,24\log_3n}$

i oszacowanie dolne dla dostatecznie dużych n:

$\lambda(n) > \ln(n)^{1.44\log_3n}$

edytuj Wartość dla liczb pierwszych

Jeżeli p - liczba pierwsza to zachodzi:

$λ(p) = φ(p) = p - 1$

edytuj Wartość dla potęg nieparzystych liczb pierwszych

jeżeli p - nieparzysta liczba pierwsza a k - liczba naturalna to zachodzi:

$λ(p) = p k - 1 (p - 1) = φ(p)$

edytuj Wartość dla iloczynu liczb względnie pierwszych

niech p,q - dwie liczby naturalne; wówczas:

$NWD(p,q)=1 \Rightarrow \lambda(pq)=NWW\big(\lambda(p),\lambda(q)\big)$

edytuj Twierdzenie Carmichaëla - związek funkcji z Małym Twierdzeniem Fermata

tzw. Twierdzenie Carmichaëla mówi, że następujące dwa warunki są równoważne:

$\lambda(n)\ |\ (n-1)$
$\forall_{a \in \mathbb{N}}\ NWD(a,n)=1 \Rightarrow a^{n-1} \equiv 1\ (mod\ n)$

edytuj Przykład zastosowania funkcji Carmichaëla

Problem: obliczyć $3^{2000}\ mod\ 248$

Rozwiązanie: ponieważ 248 i 3 są względnie pierwsze (248 nie dzieli się przez 3, bo 2+4+8=14 a 1+4=5 -> cecha podzielności przez 3), to możemy skorzystać z właściwości funkcji Carmichaëla. λ(248)=NWW(λ(8),λ(31))=NWW(2, 30)=30. Tak więc - $3^{30}\ mod\ 248=1$ . Co więcej - ponieważ 30 "mieści się" w 2000 66 razy to zachodzi:

$3^{2000}\ mod\ 248=((3^{30})^{66})(3^{20})\ mod\ 248=(1^{66})(3^{20})\ mod\ 248=3^{20}\ mod\ 248$

co jest już do policzenia znacznie prostsze. Jeżeli nie dysponujemy kalkulatorem to możemy skorzystać z prostej właściwości - mianowicie 3⁵=243 co, rozważając działanie mod 248 jest równoważne wartości -5 (243=248-5). Czyli:

$3^{20}\ mod\ 248 = ((3^5)^4)\ mod\ 248 = (-5)^4\ mod\ 248 = 25^2\ mod\ 248 = 625\ mod\ 248=129$

edytuj Funkcja Carmichaëla i funkcja Eulera

Ponieważ patrząc w odpowiedni sposób na funkcję Eulera, obie w/w funkcje pełnią podobną funkcję (tzn. są uniwersalnym wykładnikiem, dającym dla podstaw względnie pierwszych z argumentem, wartość przystającą do 1) to warto zobaczyć jaki jest realny zysk wartości. Np.

$\phi(105)=\phi(3\cdot5\cdot7)=\phi(3)\phi(5)\phi(7)=2\cdot4\cdot6=48$

$\lambda(105)=NWW\big(\lambda(3),\lambda(5),\lambda(7)\big)=NWW(2,4,6)=12$

oszczędność jest więc wyraźna.

edytuj Wartości dla 25 początkowych liczb naturalnych

1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.	10.	11.	12.	13.	14.	15.	16.	17.	18.	19.	20.	21.	22.	23.	24.	25.
1	1	2	2	4	2	6	2	6	4	10	2	12	6	4	4	16	6	18	4	6	10	22	2	20

Wykres funkcji dla przedziału <1;23>

edytuj Wartości dla 7 najmniejszych liczb Carmichaëla

561.	1105.	1729.	2465.	2821.	6601.	8911.
80	48	36	112	60	1320	198

edytuj Bibliografia

Paul Erdős, Carl Pomerance, Eric Schmutz, Carmichael's lambda function, Acta Arithmetica, vol. 58, 363--385, 1991
John Friedlander, Carl Pomerance, Igor E. Shparlinski, Period of the power generator and small values of the Carmichael function, Mathematics of Computation, vol. 70 no. 236, pp. 1591-1605, 2001