Funkcja Dirichleta.html

Funkcja Dirichleta – funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych.

Inaczej mówiąc, funkcja zmiennej rzeczywistej, która przyjmuje wartość $1$ , gdy argument jest liczbą wymierną i wartość $0$ , gdy argument jest liczbą niewymierną.

Oznaczając przez $\mathbb Q$ zbiór liczb wymiernych, funkcję Dirichleta można zapisać jako:

$\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{gdy } x \in \mathbb Q \\ 0, & \mbox{gdy } x \notin \mathbb Q \end{cases}$

Funkcja ta ma szczególne własności:

jest wszędzie nieciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny),
jest okresowa, ma przy tym nieskończenie wiele okresów (każda liczba wymierna jest jej okresem) i nie ma okresu podstawowego,
nie jest całkowalna w sensie Riemanna – w zależności od doboru podziału przedziału całkowania, aproksymacja prostokątami może dać dowolną sumę od zera do długości przedziału, zatem granica definiująca całkę Riemanna nie istnieje,
jest jednak całkowalna w sensie Lebesgue'a – przy czym jej całka Lebesgue'a na dowolnym przedziale równa jest zeru, ponieważ zerowa jest miara Lebesgue'a zbioru liczb wymiernych.

Funkcja Dirichleta.html

edytuj Zobacz też