Funkcja addytywna.html

Ten artykuł dotyczy własności funkcji o argumentach liczbowych. Zobacz też: addytywność funkcji zbioru oraz addytywność w fizyce.

Funkcja addytywna – funkcja która jest homomorfizmem struktury addytywnej rozważanych obiektów (pierścieni, ciał czy też przestrzeni liniowych). W teorii liczb jednak rozważa się całkowicie inną własność funkcji określaną tym samym terminem.

Spis treści

1 Definicje
- 1.1 Addytywność w algebrze i analizie
- 1.2 Addytywność w teorii liczb
2 Własności
3 Przypisy
4 Zobacz też

edytuj Definicje

edytuj Addytywność w algebrze i analizie

Niech $(K,+)\,$ oraz $(L,+)\,$ będą grupami abelowymi.

Powiemy, że funkcja $f:K\longrightarrow L\,$ jest addytywna jeśli

$f(x+y)=f(x)+f(y)\,$ dla wszystkich $x,y\in K\,$ .

O addytywnych funkcjach rzeczywistych $f:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}\,$ mówimy też, że spełniają równanie funkcyjne Cauchy'ego.

Jeśli grupa $(L,+)\,$ jest grupą liniowo uporządkowaną przez relację $\leq\,$ to funkcję $f:K\longrightarrow L\,$ nazwiemy podaddytywną jeśli

$f(x+y)\leq f(x)+f(y)\,$ dla wszystkich $x,y\in K\,$ .

Powyższe pojęcie jest rozważane głównie gdy $(L,+)\,$ jest grupą addytywną liczb rzeczywistych (z naturalnym porządkiem).

edytuj Addytywność w teorii liczb

Teoria liczb posiada własną definicją addytywności. Funkcja $f: \mathbb N \to \mathbb N$ jest funkcją addytywną, gdy dla wszystkich względnie pierwszych liczb $m, n \in \mathbb N$ zachodzi

$f(mn) = f(m) + f(n)\,$ .

Jeżeli powyższy związek zachodzi dla dowolnych liczb $m\,$ oraz $n\,$ , to funkcję nazywa się całkowicie addytywną.

edytuj Własności

Poniżej, mówiąc o funkcjach addytywnych myślimy o addytywności w sensie homomorfizmów grup addytywnych.

Z zasady indukcji matematycznej można wnioskować, iż dla każdej addytywnej funkcji $f:K\longrightarrow L$ zachodzi

$f\left(\sum_{i=1}^n~x_i\right) = \sum_{i=1}^n f(x_i)$ dla wszystkich $x_1, \ldots, x_n \in K$ , $n \in {\mathbb N}$ .

Stąd też, powyższą własność nazywa się skończoną addytywnością, a funkcje addytywne nazywamy też funkcjami skończenie addytywnymi.

Załóżmy, że funkcja addytywna $f:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}$ spełnia jeden z następujących warunków:

(a) $f\,$ jest ciągła w przynajmniej jednym punkcie, lub

(b) $f\,$ jest monotoniczna na pewnym przedziale, lub

Wówczas $f(x)=f(1)\cdot x$ dla wszystkich $x\in {\mathbb R}$ (to znaczy, $f\,$ jest funkcją jednorodną).

Pierwszy wynik powyższej postaci był uzyskany przez Augustina Cauchy'ego^[1].

W 1905, Georg Hamel^[2] udowodnił, że jeśli założymy AC, to istnieją funkcje addytywne $f:{\mathbb R}\longrightarrow {\mathbb R}$ które nie są ciągłe.

Przypisy

↑ Augustin Cauchy: Cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique , 1. Analyse alg´ebrique, V.. Paris: 1821.
↑ Georg Hamel. Eine Basis al ler Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung $f (x + y) = f (x) + f (y)$ . Math. Ann.. 60: 459-462 (1905).