Funkcja błędu.html

Wykres funkcji błędu

Funkcje matematyczne

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja błędu Gaussa — funkcja nieelementarna, która występuje w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce oraz w teorii równań różniczkowych cząstkowych. Jest zdefiniowana jako

$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2} dt.$

Przez zapisanie prawej strony definicji jako szereg Taylora i całkowanie, można dowieść, że

$\operatorname{erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!}$

$=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)$

dla każdego rzeczywistego x.

Dla $|x| \ll 1$ , wartość funkcji błędu można wygodnie wyliczyć z rozwinięcia

$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{(2n+1)!!} x^{2n+1}$

$=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2} \left(x+ \frac{2x^3}{1\cdot 3} + \frac{4x^5}{1\cdot 3 \cdot 5} + \frac{8x^7}{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots\right)$

gdzie k!! oznacza silnię podwójną liczby $k$ .

Dla $|x| \gg 1$ , wygodne jest następujące rozwinięcie

$\operatorname{erf}(x) = 1 - \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n-1)!!}{2^n} x^{-(2n+1)}$

$= 1 - \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^3} + \frac{1\cdot 3}{4x^5} - \frac{1\cdot 3 \cdot 5}{8x^7} + \cdots \right)$

Funkcja $\operatorname{erf}$ jest ściśle związana z uzupełniającą funkcją błędu $\operatorname{erfc}$ ,

$\operatorname{erfc}(x) \equiv 1 - \operatorname{erf}(x).$