Funkcja harmoniczna.html

Funkcja harmoniczna – funkcja rzeczywista $f: \mathbb R^n \to \mathbb R$ , której wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu są ciągłe w każdym punkcie spełniająca równanie różniczkowe Laplace'a:

$\Delta f \equiv 0$ ,

gdzie $Δ$ jest operatorem Laplace'a.

Poniżej piszemy $A\Subset\Omega$ , gdy $\overline{A}\subseteq\Omega$ oraz oznaczamy $B^n(x,r)\subseteq\mathbb{R}^n$ kulę środku $x$ i promieniu $r$ , a $S^{n-1}(x,r)\subseteq\mathbb{R}^n$ sferę o środku x i promieniu r. Miarę zbioru $\mathcal{A}$ oznaczamy przez $|\mathcal{A}|$ .

Spis treści

1 Funkcje sub- i superharmoniczne
2 Własność wartości średniej
3 Zasada maksimum dla funkcji subharmonicznych
4 Alternatywna definicja funkcji subharmonicznej
5 Przykłady
6 Bibliografia
7 Zobacz też

edytuj Funkcje sub- i superharmoniczne

Funkcję $u$ nazywamy subharmoniczną, gdy $\Delta u \ge 0$ oraz superharmoniczną, gdy $\Delta u \le 0$ .

edytuj Własność wartości średniej

Niech $u\in C^2(\Omega), x\in \Omega, r>0, B(x,r) \Subset \Omega$ oraz $u$ harmoniczna w $Ω$ . Wówczas:

$u(x) = \frac{1}{|S^{n-1}(x,r)|}\int_{S^{n-1}(x,r)}{u(z)d\sigma(z)}$

$u(x) = \frac{1}{|B^{n-1}(x,r)|}\int_{B^{n-1}(x,r)}{u(z)dz}$

Zatem w każdym punkcie wartość funkcji jest równa średniej wartości po sferze (lub kuli) o środku w tym punkcie i dowolnym promieniu, takim że sfera (kula) leży całkowicie w obszarze harmoniczności funkcji.

Dla funkcji sub- i superharmonicznych istnieją analogiczne własności wartości średniej. Dla funkcji subharmonicznych:

$u(x) \le \frac{1}{|S^{n-1}(x,r)|}\int_{S^{n-1}(x,r)}{u(z)d\sigma(z)}$

$u(x) \le \frac{1}{|B^{n-1}(x,r)|}\int_{B^{n-1}(x,r)}{u(z)dz}$

edytuj Zasada maksimum dla funkcji subharmonicznych

Niech $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ będzie otwarty, ograniczony i spójny, $u\in C^2(\Omega)$ oraz u harmoniczna w $Ω$ . Przypuśćmy, że funkcja u przyjmuje supremum w punkcie $x_0\in\Omega,$ tj. $\sup_{x\in\Omega}{u(x)}=u(x_0)=M$ . Wówczas $u(x)\equiv M$ dla każdego $u\in\Omega$ .

Zatem funkcja subharmoniczna musi przyjmować maksima na brzegu $Ω$ . Analogiczna zasada, lecz z przeciwnym znakiem, istnieje dla funkcji superharmonicznych - nie mogą one przyjmować infimum wewnątrz obszaru $Ω$ .

edytuj Alternatywna definicja funkcji subharmonicznej

Funkcję $u:\mathcal{U}\to\mathbb{R}$ nazywamy subharmoniczną gdy dla każdej kuli $B\Subset\mathcal{U}$ i każdej funkcji harmonicznej $h:B\to\mathbb{R}$ i takiej że $h\vert{}_{\partial B} \le u\vert_{\partial B}$ spełnione jest $h \le u$ na całej kuli $B$ .