Funkcja holomorficzna.html
 
| ca | de | en | es | fr | it | nl | no | pl | pt | ru | ro | fi | sv | tr | vo |


 

Funkcja holomorficzna – główny obiekt badań analizy zespolonej; funkcja zdefiniowana na otwartym podzbiorze płaszczyzny liczb zespolonych \mathbb C o wartościach w \mathbb C, która jest różniczkowalna w sensie zespolonym w każdym punkcie.

Holomorficzność funkcji jest warunkiem dużo silniejszym niż różniczkowalność w sensie rzeczywistym, z którego wynika również, że taka funkcja jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna i może być opisana za pomocą wzoru (szeregu) Taylora.

Często, wymiennie z „funkcja holomorficzna”, stosuje się również nazwę funkcja analityczna, jednak jest to termin, który używany jest również w szerszym sensie – funkcji (rzeczywistej, zespolonej lub ogólniejszego typu), która jest równa swojemu rozwinięciu w szereg Taylora w dowolnym punkcie swojej dziedziny. Fakt, że klasa funkcji analitycznych pokrywa się z klasą funkcji holomorficznych jest istotnym twierdzeniem analizy zespolonej. O funkcjach holomorficznych mówi się także, iż są regularne[1] (zob. regularność funkcji).

Funkcja, która jest holomorficzna na całej płaszczyźnie zespolonej nazywana jest funkcją całkowitą (całkowitość oddaje tu „całość”, dlatego funkcji tej nie należy mylić z funkcją określoną w liczbach całkowitych)[2]. Z kolei wyrażanie „holomorficzna w punkcie a” oznacza funkcję nie tylko różniczkowalną w punkcie a, ale różniczkowalną wszędzie wewnątrz pewnego otwartego koła o środku w a na płaszczyźnie zespolonej.

Spis treści

edytuj Definicja

Niech U będzie otwartym podzbiorem \mathbb C, zaś f\colon U \to \mathbb C będzie funkcją zespoloną określoną na U. O funkcji f mówi się, że jest różniczkowalna w sensie zespolonym lub ma pochodną zespoloną w punkcie z_0 \in U, jeżeli istnieje granica

f'(z_0) = \lim_{z \to z_0}~{f(z) - f(z_0) \over z - z_0},

którą nazywa się pochodną zespoloną funkcji f w punkcie z0.

Powyższa granica jest wzięta po wszystkich ciągach liczb zespolonych zbiegających do z0 i dla wszystkich takich ciągów iloraz różnicowy ma zbiegać do tej samej liczby f'(z0). Intuicyjnie, jeżeli f jest różniczkowalna w sensie zespolonym w z0 z kierunku r, to obrazy będą zbiegać do punktu f(z0) z kierunku f'(z0)r, gdzie ostatni iloczyn jest mnożeniem liczb zespolonych. To pojęcie różniczkowalności dzieli kilka wspólnych własności z różniczkowalnością w sensie rzeczywistym: jest liniowe i spełnia reguły iloczynu, ilorazu i łańcuchową.

Jeżeli f jest różniczkowalna w sensie zespolonym w każdym punkcie z_0 \in U, to funkcję f nazywa się holomorficzną na U. Funkcja f jest holomorficzna w punkcie z0, jeżeli jest holomorficzna w pewnym otoczeniu z0. Funkcja f jest holomorficzna na pewnym nieotwartym zbiorze A, jeżeli jest holomorficzna na zbiorze otwartym zawierającym A. O funkcji, która nie jest holomorficzna w danym obszarze, mówi się, że jest w nim osobliwa.

Związek między różniczkowalnością w sensie rzeczywistym i w sensie zespolonym jest następujący:

jeżeli funkcja zespolona f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) jest holomorficzna, to u i v mają pierwsze pochodne cząstkowe względem x oraz y i spełniają równania Cauchy'ego-Riemanna:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \mbox{oraz} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Prostym odwróceniem tego wyniku jest, że

jeżeli u oraz v mają ciągłe pierwsze pochodne cząstkowe i spełniają równania Cauchy'ego-Riemanna, to wtedy f jest holomorficzna.

Bardziej zadowalającym odwróceniem, które nastręcza więcej trudności przy dowodzie, jest twierdzenie Loomana-Menchoffa:

jeżeli f jest ciągła, a u i v mają pierwsze pochodne cząstkowe i spełniają równania Cauchy'ego-Riemanna, to f jest holomorficzna.

edytuj Terminologia

Słowo „holomorficzny” zostało wprowadzone przez dwóch studentów Cauchy'ego, Briota (1817-1882) oraz Bouqueta (1819-1895), i pochodzi od greckiego őλoς (holos) oznaczającego „całość” oraz μoρφń (morphe) oznaczającego „kształt”, „wygląd”[3]

Dzisiaj wielu matematyków woli termin „funkcja holomorficzna” nad „funkcja analityczna”, ponieważ ten drugi oddaje bardziej ogólne pojęcie. Jest to spowodowane również ważnym wynikiem w analizie zespolonej, mianowicie iż każda funkcja holomorficzna jest analityczna (w dziedzinie zespolonej). Jest to fakt, który nie wynika wprost z definicji. Jednakże termin „analityczny” jest także w szeroko rozpowszechniony.

edytuj Własności

Ponieważ różniczkowanie w sensie zespolonym jest liniowe i spełnia reguły iloczynu, ilorazu i łańcuchową, to sumy, iloczyny i złożenia funkcji holomorficznych są holomorficzne, a iloraz dwóch funkcji holomorficznych jest holomorficzny tam, gdzie mianownik jest różny od zera.

Utożsamienie \mathbb C z \mathbb R^2 sprawia, że funkcje holomorficzne pokrywają się z tymi funkcjami dwóch zmiennych rzeczywistych o ciągłych pierwszych pochodnych, które są rozwiązaniami równań Cauchy'ego-Riemanna, układu dwóch równań różniczkowych cząstkowych.

Każda funkcja holomorficzna może być przedstawiona jako suma swoich części rzeczywistej i urojonej, a każda z nich jest rozwiązaniem równania Laplace'a na \mathbb R^2. Innymi słowy, jeżeli wyrazi się funkcję holomorficzną f(z) jako u(x,y) + iv(x,y), to tak u jak i v są funkcjami harmonicznymi.

Tam gdzie pierwsza pochodna nie zeruje się, funkcje holomorficzne są konforemne (równokątne) w tym sensie, iż zachowuje kąt i kształt (ale nie rozmiar) małych figur.

Wzór całkowy Cauchy'ego zapewnia, że każda funkcja holomorficzna wewnątrz pewnego koła jest całkowicie określona przez wartości na brzegu tego koła.

Każda funkcja holomorficzna jest analityczna. Oznacza to, że funkcja holomorficzna ma pochodne dowolnego rzędu w każdym punkcie a swojej dziedziny i pokrywa się ze swoim szeregiem Taylora względem punktu a w otoczeniu a. Rzeczywiście, f pokrywa się ze swoim szeregiem Taylora względem a w dowolnym kole o środku w tym punkcie, które leży wewnątrz dziedziny tej funkcji.

Z algebraicznego punktu widzenia zbiór funkcji holomorficznych określonych na zbiorze otwartym jest pierścieniem przemiennym i zespoloną przestrzenią liniową. Rzeczywiście, jest to lokalnie wypukła przestrzeń liniowo-topologiczna, gdzie półnormami są suprema na podzbiorach zwartych.

edytuj Przykłady

Wszystkie funkcje wielomianowe oraz funkcje wymierne zmiennej z o współczynnikach zespolonych są holomorficzne na \mathbb C, również funkcje trygonometryczne sinus i kosinus oraz funkcja wykładnicza (funkcje trygonometryczne są w rzeczywistości blisko z nią związane i mogą być przez nią definiowane za pomocą wzoru Eulera). Ogólniej: każdy szereg potęgowy o niezerowym promieniu zbieżności jest funkcją analityczną w swoim kole zbieżności (otwartym).

Główna gałąź logarytmu zespolonego jest holomorficzna na zbiorze \mathbb C \setminus \{z \in \mathbb R\colon z \leqslant 0\}. Pierwiastek kwadratowy funkcji może być określony jako

\sqrt{z} = e^{\tfrac{1}{2}\log z}

i stąd jest on holomorficzny tam, gdzie holomorficzny jest logarytm logz. Funkcja \tfrac{1}{z} jest holomorficzna na zbiorze \{z\colon z \ne 0\}.

Holomorficzna funkcja o wartościach rzeczywistych musi być stała, co jest konsekwencją równań Cauchy'ego-Riemanna. Stąd moduł liczby zespolonej z oraz argument liczby zespolonej z nie są holomorficzne.

edytuj Przypadek kilku zmiennych

Zespolona analityczna funkcja kilku zmiennych zespolonych jest definiowana jako analityczna i holomorficzna w punkcie, jeżeli jest lokalnie rozwijalna (wewnątrz wielokoła/polidysku, iloczynu kartezjańskiego kół o środku w tym punkcie) jako zbieżny szereg potęgowy tych zmiennych. Warunek ten jest silniejszy niż równania Cauchy'ego-Riemanna; rzeczywiście, może być on również wyrażony następująco:

funkcja kilku zmiennych zespolonych jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia równania Cauchy'ego-Riemanna i jest lokalnie całkowalna z kwadratem.

edytuj Uogólnienie w analizie funkcjonalnej

Zobacz więcej w osobnym artykule: holomorfia nieskończeniewymiarowa.

Pojęcie funkcji holomorficznej może być rozszerzone na przestrzenie nieskończeniewymiarowe rozważane w analizie funkcjonalnej. Przykładowo pochodne Frécheta lub Gâteaux mogą być wykorzystane do zdefiniowania pojęcia funkcji holomorficznej na przestrzeni Banacha nad ciałem liczb zespolonych.

edytuj Bibliografia

  1. ↑ Springer Online Reference Books, Wolfram MathWorld
  2. ↑ Nazwa funkcja całkowita tłumaczy się na niem. ganze Funktion, fr. fonction entière, ang. entire function; liczby całkowite to w niem. ganze Zahle, a we fr. entier relatif, ang. integers nie wprowadza zamieszania.
  3. ↑ Markushevich, A.I.: Theory of functions of a Complex Variable. Silverman, Richard A. (ed.). Wyd. drugie. New York: American Mathematical Society, 2005 (1977). ISBN 0-8218-3780-X.  (angielski)

edytuj Zobacz też
All Right Reserved © 2007, Designed by Stylish Blog.