Funkcja liniowa.html

Ten artykuł dotyczy funkcji elementarnej. Zobacz też: przekształcenie liniowe w algebrze liniowej.

Funkcje matematyczne

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja liniowa – w matematyce elementarnej funkcja określona wzorem $f(x)=ax+b\,$ dla $a,b \in \mathbb{R}$ . Natomiast w algebrze liniowej termin ten jest używany w odniesieniu do homomorfizmów przestrzeni liniowych.

Spis treści

1 Matematyka elementarna
- 1.1 Definicja
- 1.2 Własności
2 Algebra liniowa
3 Zobacz też

edytuj Matematyka elementarna

edytuj Definicja

W algebrze elementarnej i geometrii analitycznej pod pojęciem funkcji liniowej rozumie się funkcję wielomianową stopnia co najwyżej pierwszego (tj. pierwszego stopnia lub funkcję stałą).

Innymi słowy, funkcją liniową nazywamy funkcję $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ postaci $f(x) = ax + b\,$ , gdzie $a\,$ i $b\,$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, (ogólniej można mówić o funkcjach liniowych określonych dla liczb zespolonych).

Wykresy trzech funkcji liniowych. Funkcje z wykresami czerwonym i niebieskim mają ten sam współczynnik kierunkowy ( $a\,$ ), zaś funkcje z wykresami czerwonym i zielonym mają ten sam punkt przecięcia z osią $OY\,$ ( $b\,$ ).

Nazwa pochodzi stąd, że są to dokładnie te funkcje, których wykres na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych jest linią prostą. Dokładniej: dla $x \in \mathbb R$ wykresem funkcji $f(x)\,$ jest prosta dana równaniem $y = ax + b\,$ .

Liczbę $a\,$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym (kątowym) wspomnianej prostej. W prostokątnym układzie współrzędnych o równych jednostkach $a$ interpretujemy jako tangens nachylenia owej prostej do osi $OX\,$ układu współrzędnych, $b\,$ to tzw. wyraz wolny, interpretowany jako punkt przecięcia prostej z osią $OY\,$ układu w punkcie $(0,\; b)\,$ .

edytuj Własności

Funkcja liniowa $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ jest

ciągła,
różniczkowalna, gdyż $f' \equiv a\,$ ,
różnowartościowa dla $a \ne 0\,$ ,
nieokresowa dla $a \ne 0\,$ ,
monotoniczna:
- rosnąca dla $a > 0\,$ ,
- malejąca dla $a < 0\,$ ,
- stała dla $a = 0\,$ ,
parzysta dla $a = 0\,$ ,
nieparzysta dla $b = 0\,$ .

Gdy $a = 1,\; b = 0\,$ , mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem funkcji liniowej – mianowicie funkcja tożsamościową określoną wzorem $f(x) = x\,$ .

edytuj Algebra liniowa

W algebrze liniowej rozpatruje się podobne funkcje, które w celu uniknięcia nieporozumień, nazywa się przekształceniami lub odwzorowaniami.

Przekształceniem liniowym (w przypadku przekształcenia z przestrzeni liczb rzeczywistych w przestrzeń liczb rzeczywistych) nazywamy funkcję $f(x) = ax\,$ określoną na przestrzeni liniowej, z kolei funkcje liniowe $f(x) = ax + b\,$ noszą nazwę przekształceń afinicznych (określane na przestrzeniach afinicznych).