Funkcja monotoniczna.html

Funkcje matematyczne

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja monotoniczna w pewnym przedziale – funkcja niemalejąca lub nierosnąca w pewnym przedziale.

funkcja malejąca to taka funkcja $f:\mathbb A \to \mathbb B$ , że $\forall a_1, a_2 \in \mathbb A (a_1 > a_2 \implies f(a_1) < f(a_2)).$
funkcja rosnąca to taka funkcja $f:\mathbb A \to \mathbb B$ , że $\forall a_1, a_2 \in \mathbb A (a_1 > a_2 \implies f(a_1) > f(a_2)).$
funkcja niemalejąca to taka funkcja $f:\mathbb A \to \mathbb B$ , że $\forall a_1, a_2 \in \mathbb A (a_1 > a_2 \implies f(a_1) \ge f(a_2))$ .
funkcja nierosnąca to taka funkcja $f:\mathbb A \to \mathbb B$ , że $\forall a_1, a_2 \in \mathbb A (a_1 > a_2 \implies f(a_1) \le f(a_2))$ .
funkcja monotoniczna jest to funkcja niemalejąca lub nierosnąca.
funkcja silnie (ściśle) monotoniczna jest to funkcja malejąca lub rosnąca. Czyli $\left(\forall a_1,a_2 \in \mathbb A . a_1 > a_2 \implies f(a_1) > f(a_2)\right)$ $\or \left(\forall a_1,a_2 \in \mathbb A . a_1 > a_2 \implies f(a_1) < f(a_2)\right).$
funkcja stała to taka funkcja $f:\mathbb A \to \mathbb B$ , że $\forall a_1, a_2 \in \mathbb A: f(a_1) = f(a_2)$

Czasem przez funkcję monotoniczną rozumie się funkcję silnie monotoniczną; wówczas funkcje niemalejące i nierosnące nazywa się słabo monotonicznymi.

Symbole < i > oznaczają pewne porządki na zbiorach $\mathbb A$ i $\mathbb B$ . W szczególności może to być zwykła relacja większości na zbiorze liczb rzeczywistych. Pojęcie funkcji stałej można wprowadzić w każdym zbiorze, bez używania relacji porządkującej. W zbiorach uporządkowanych funkcja stała jest jedyną funkcją niemalejącą i nierosnącą. W szczególności funkcja stała jest funkcją monotoniczną.

Każda funkcja rosnąca jest niemalejąca, a funkcja malejąca jest nierosnąca.

Jeżeli funkcja $f (x)$ jest rosnąca, to funkcja $- f (x)$ jest malejąca i na odwrót. Podobnie ma się rzecz z funkcjami nierosnącymi i niemalejącymi.

Funkcja silnie monotoniczna musi być funkcją różnowartościową: dla każdych różnych $a 1$ , $a 2$ , $f(a_1) > f(a_2) \or f(a_1) < f(a_2)$ , a więc $f(a_1) \ne f(a_2).$

edytuj Funkcje zmiennej rzeczywistej

Funkcja zmiennej rzeczywistej różniczkowalna w przedziale jest monotoniczna, gdy jej pochodna zachowuje stały znak w tym przedziale.

Można także mówić, że funkcja jest monotoniczna (lub rosnąca, malejąca itd.) na pewnym przedziale. Na przykład funkcja $f (x) = x 2$ jest rosnąca w przedziale $(0, \infty)$ .

Funkcja przedziałami monotoniczna to funkcja, której dziedzinę można rozbić na przedziały tak, aby w każdym z nich osobno funkcja była monotoniczna. Przykładami takich funkcji są wartość bezwzględna, funkcje trygonometryczne, wszystkie wielomiany (niektóre wielomiany są funkcjami monotonicznymi). Należy zaznaczyć, że nie każda funkcja rzeczywista jest przedziałami monotoniczna (np. funkcja Dirichleta).

Przykłady funkcji monotonicznych:

Funkcja liniowa $y = a x + b$ jest malejąca, gdy $a$ jest ujemne, rosnąca, gdy $a$ jest dodatne, niemalejąca, gdy $a$ jest nieujemne, nierosnąca, gdy $a$ jest niedodatnie, stała gdy $a = 0$ .
Funkcja wykładnicza jest funkcją rosnącą gdy podstawa potęgi jest większa od 1, stałą gdy jest równa 1, malejącą gdy jest mniejsza od 1.
Funkcja logarytmiczna jest funkcją rosnącą gdy podstawa logarytmu jest większa od 1 (np. logarytm naturalny), a malejącą gdy jest mniejsza od 1.
Funkcja potęgowa na półprostej dodatniej jest rosnąca, gdy wykładnik potęgi jest dodatni, a malejąca, gdy jest ujemny.

edytuj Ciągi monotoniczne

Ponieważ każdy ciąg jest funkcją, więc można dla nich też zdefiniować pojęcie monotoniczności w identyczny sposób. A zatem otrzymuje się definicje ciągu stałego, ciągu rosnącego, ciągu malejącego, ciągu nierosnącego, ciągu niemalejącego, ciągu monotonicznego i ciągu ściśle monotonicznego.

Czasem zmienia się nazewnictwo: ciągi nierosnące i niemalejące nazywa się krótko malejącymi i rosnącymi. Wówczas zwykłe ciągi rosnące i malejące nazywa się ciągami ściśle rosnącymi i ściśle malejącymi.

Intuicyjnie, wyrazy ciągu rosnącego ciągle się zwiększają, malejącego ciągle maleją.

Aby zbadać monotoniczność ciągu, wystarczy sprawdzić zachodzenie odpowiednich warunków dla sąsiednich wyrazów. I tak, ciąg $(a n)$ jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego n naturalnego $a n < a n + 1$ , a malejący, jeśli dla dowolnego n naturalnego $a n > a n + 1$ .

Można mówić, że ciąg jest rosnący, malejący, nierosnący, niemalejący lub stały od pewnego wyrazu; np. ciąg o wyrazach 1, 1, 2, 6, 24, 120,... (ciąg silni) jest rosnący od drugiego wyrazu (sam ciąg jest tylko niemalejący).

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: Co to znaczy: "ułatwić postać wielu twierdzeń"?.
Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Ogólne pojęcie monotoniczności wprowadzono, aby ułatwić postać wielu twierdzeń. Dla przykładu każdy nieskończony ciąg monotoniczny ograniczony jest zbieżny. Także każdy nieskończony ciąg stały jest zbieżny - jego granica jest równa wspólnej wartości wszystkich jego wyrazów.

edytuj Przykłady

ciąg słów (a_n) = (ala, ala, ala, ...) jest stały
ciąg 1, 2, 3, 4, 5, ... jest rosnący
ciąg 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... jest malejący
ciąg 0, 0, 0, 0, 0, ... jako stały jest jednocześnie niemalejący i nierosnący
ciąg 2, 3, 2, 3, 2, 3, ... nie jest monotoniczny.

edytuj Pojęcie teorio-mnogościowe

Niech $(A, \le_A)$ oraz $(B, \le_B)$ będą częściowo uporządkowane, funkcja $f: A \rightarrow B$ jest monotoniczna jeżeli

$(\forall {x_0\in A})(\forall {x_1 \in A}) x_0 \le_A x_1 \Rightarrow f(x_0) \le_B f(x_1)$

Jest to ogólna definicja monotoniczności, należy więc odróżnić relację porządku częściowego $\le$ od standardowego porządku na liczbach rzeczywistych. Na przykład: funkcja monotonicznie malejąca na zbiorze liczb rzeczywistych jest monotoniczna w sensie powyższej definicji jeżeli $\le_A$ oznacza standardowy porządek, natomiast $\le_B$ oznacza odwrócony standardowy porządek na liczbach rzeczywistych (tzn $\le_A^{-1}$ ).

Funkcje monotoniczne są morfizmami w kategorii Pos zbiorów częściowo uporządkowanych.