Funkcja odwracalna.html

Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wynikowi jakiejś funkcji jej argument, czyli działająca odwrotnie do niej.

Spis treści

1 Uwaga
2 Definicja
3 Istnienie
4 Wyznaczanie
5 Przykłady
6 Własności
7 Przypisy
8 Zobacz też

edytuj Uwaga

W matematyce istnieją dwie konwencje^{potrzebne źródło} rozumienia czym jest zbiór $Y$ przy zapisie $f\colon X\to Y$ - pierwsza z nich zakłada, że w domyśle, zbiór wartości funkcji $f$ zawarty jest w zbiorze $Y$ , druga z nich zakłada, że to właśnie $Y$ jest całym zbiorem wartości^[1]. W praktyce matematycznej, pierwsza konwencja jest popularniejsza, jednak definiując funkcję odwrtotną będziemy zakładać, że $Y$ jest całym zbiorem wartości funkcji $f$ (tzn., że $f$ jest na zbiór $Y$ ).

edytuj Definicja

Funkcję $f\colon X\to Y$ (por. uwaga) nazywamy odwracalną, gdy istnieje taka funkcja $g\colon Y\to X$ taka, że

$g(f(x))=x\;$ dla każdego $x\in X\;$

$f(g(y))=y\;$ dla każdego $y\in Y\;$ .

Innymi słowy $g$ jest taką funkcją, że złożenia $g\circ f$ oraz $f\circ g$ są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze $X$ i $Y$ . Funkcję $g$ nazywamy funkcją odwrotną do $f$ i oznaczamy symbolem $f - 1$ .

Bezpośrednio z definicji wynika, że jeśli $f$ jest funkcją odwracalną to jest różnowartościowa dlatego oraz ze względu na uwagę powyżej, funkcję odwracalną definiuje się jako funkcję różnowartościową i "na". Wówczas oczywiście każda funkcja różnowartościowa jest jest odwracalna jeśli myślimy o jej obrazie jako przeciwdziedzinie.

Jeżeli f odwzorowuje X na Y, to f^-1 odwzorowuje Y na X.

Oznaczenia $f - 1 (x)$ nie należy mylić z symbolem $(f(x))^{-1}=\tfrac{1}{f(x)}$ .

edytuj Istnienie

Nie każda funkcja ma do niej odwrotną. Istnieje jednak twierdzenie ułatwiające sprawdzenie, czy dana funkcja jest odwracalna:

Twierdzenie: Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), tzn. jest różnowartościowa i „na”.

Poniższe twierdzenie ma raczej znaczenie teoretyczne, jednak stanowi podpowiedź, w jaki sposób należy szukać funkcji odwrotnej:

Twierdzenie: Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej relacja odwrotna jest funkcją nazywaną wówczas funkcją odwrotną; relacja odwrotna, to relacja otrzymana przez zamienienie miejscami jej argumentów.

edytuj Wyznaczanie

Wyznaczenie funkcji odwrotnej $g$ do danej $f$ polega na rozwiązaniu równania

$y = f(x)\;$

względem niewiadomej $x$ . Rozwiązanie, czyli

$x = g(y)\;$ ,

to poszukiwana funkcja odwrotna.

edytuj Przykłady

Funkcja f ma odwrotną f^-1; ponieważ f odwzorowuje a na 3, to f^-1 przekształca 3 w a.

Przypisanie numeru PESEL każdemu (żyjącemu) Polakowi można odwrócić w naturalny sposób: znajdując Polaka według numeru PESEL.
Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej.
Funkcją odwrotną do funkcji liczbowej danej wzorem $y (x) = 3 x$ jest funkcja $x(y) = \tfrac{y}{3}$ .
Funkcja $f (n) = n 2$ nie jest odwracalna jako funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych - chociażby dlatego, że $f (1) = f ( - 1) = 1$ - jednak zawężenie dziedziny tej funkcji do zbioru liczb naturalnych powoduje, iż ma ona na tym zbiorze funkcję odwrotną daną wzorem $f^{-1}(n)=\sqrt{n}$ dla $n\in\mathbb{N}$ .
Funkcją odwrotną do funkcji danej wzorem $h(x) = \tfrac{1}{x}$ dla $x\neq 0$ jest ona sama, tzn. $h^{-1}(x) = \tfrac{1}{x}$ (zob. Inwolucje).

edytuj Własności

edytuj Jednoznaczność

Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.

edytuj Symetria

Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do $f$ jest $f - 1$ , to odwrotną do $f - 1$ jest funkcja $f$ . Symbolicznie:

$\begin{align} &\text{je}\dot\text{z}\text{eli } & f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_X\text{,} \\ &\text{to } & f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_Y\text{.} \end{align}$

Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru:

$\left(f^{-1}\right)^{-1} = f$ .

edytuj Odwrotność złożenia

Funkcją odwrotną do g ◦ f jest f^–1 ◦ g^–1.

Funkcja odwrotna złożenia funkcji dana jest wzorem

$(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$ .

Należy zwrócić uwagę na zamieniony porządek $f$ i $g$ : aby odczynić działanie $g$ następującego po $f$ należy najpierw odczynić $f$ , a następnie odczynić $g$ .

edytuj Inwolucje

Jeżeli $X$ jest dowolnym zbiorem, to funkcja tożsamościowa na $X$ jest swoją własną odwrotnością:

$\operatorname{id}_X^{-1} = \operatorname{id}_X$ .

Ogólniej, jeżeli funkcja $f\colon X \to X$ jest równa swojej odwrotności wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie $f \circ f$ jest równe $\operatorname{id}_X$ . Takie funkcje nazywa się inwolucjami.

edytuj Zachowywane własności

Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest rosnąca.
Funkcja odwrotna do funkcji malejącej jest malejąca.
Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej jest ciągła.
Funkcja odwrotna do funkcji różniczkowalnej $f (x)$ jest różniczkowalna wszędzie, z wyjątkiem obrazów punktów, dla których $f^\prime (x)=0$ , w szczególności $(f^{-1})^\prime(y)=\tfrac{1}{f^\prime(x)}$
Wykres funkcji odwrotnej do f jest symetryczny do wykresu f względem prostej $y = x$

Przypisy

↑ Z punktu widzenia definicji funkcji jako trójki uporządkowanej składającej się z dziedziny, przeciwdziedziny i wykresu, funkcje symbole $\sin \colon \mathbb{R}\to [-1,1]$ oraz $\sin \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ mówią o dwóch różnych funkcjach sinus - w praktyce nie ma to jednak większego znaczenia

edytuj Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki.