Funkcja okresowa.html



Funkcja okresowa – intuicyjnie, funkcja, której wartości "powtarzają się" cyklicznie w nieskończoność (ścisła definicja poniżej). Klasycznym przykładem jest funkcja sinus:

Funkcje okresowe mogą służyć do modelowania zjawisk okresowych w fizyce – np. ruchu wahadła czy planety – a także w biologii, medycynie, ekonomii i innych dziedzinach nauki.

edytuj Definicja dla funkcji liczbowych

Niech oraz niech będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze D. Okresem funkcji f nazywamy dowolną liczbę T różną od zera (niekiedy zakłada się, że T > 0) o następujących własnościach:

1. dla dowolnej liczby , również liczby x + T,x − T należą do D (niekiedy opuszcza się warunek ) oraz
2. dla każdego zachodzi równość f(x + T) = f(x).

Jeśli jakaś funkcja ma okres, nazywamy ją funkcją okresową; funkcję o okresie T nazywa się czasem skrótowo funkcją T-okresową. Jeśli wśród dodatnich okresów funkcji f istnieje najmniejszy, nazywamy go okresem podstawowym (lub zasadniczym). Funkcja okresowa nie musi mieć okresu podstawowego, na przykład dla funkcji Dirichleta, danej wzorem

,

okresem jest dowolna niezerowa liczba wymierna i tylko takie liczby są jej okresami.

Pierwszy z powyższych warunków gwarantuje, że dziedzina funkcji okresowej ma odpowiednią strukturę, tj. biorąc jakąkolwiek liczbę x, dla której wyrażenie f(x) ma sens, żądamy, aby miało ono sens również dla x + T, a w konsekwencji i dla x + 2T, x + 3T itd. (oraz x − T, x − 2T itd.). Przykładowo, nie ma sensu np. mówić o okresowości funkcji określonej na przedziale ograniczonym, gdyż, mówiąc nieściśle, nie powstaje on przez cykliczne powtarzanie jakiegoś kawałka w nieskończoność. Warunek, by (niekiedy opuszczany), zapewnia, że dziedzina rozciąga się nie tylko od pewnego miejsca do plus nieskończoności, ale także w przeciwnym kierunku.

Drugi warunek stanowi sedno pojęcia okresowości: implikuje on, że nie tylko dziedzina, ale również wykres funkcji f powstaje przez położenie obok siebie nieskończenie wielu przesuniętych coraz dalej kopii tego samego zbioru. Zauważmy, że nie ma potrzeby dodawania warunku f(x − T) = f(x); kładąc bowiem x − T zamiast x w warunku 2, otrzymujemy f(x) = f((x − T) + T) = f(x − T).

Jeśli T jest okresem, to każda całkowita wielokrotność liczby T też jest okresem funkcji.

edytuj Definicja dla półgrup

Niech (G, * ) będzie półgrupą, a funkcją określoną na G. Jeśli istnieje taki element T w G (nie będący elementem neutralnym), że f(x * T) = f(x) dla dowolnego , to nazywamy go okresem funkcji f, a samą funkcję nazywamy okresową.

Zauważmy, że powyższa definicja nie jest uogólnieniem definicji podanej wcześniej, bowiem tym razem nie założyliśmy istnienia odpowiednika liczby x − T. Jeśli G jest grupą, to oczywiście warunek ten jest spełniony. Niemniej jednak tak ogólna definicja może być pożyteczna – obejmuje ona np. ciągi okresowe, tj. funkcje okresowe określone na zbiorze liczb naturalnych. Zauważmy również, że samą definicję można by napisać nawet w przypadku zbioru z określonym jakimkolwiek działaniem (tj. niekoniecznie łącznym) oraz że w przypadku półgrup nieprzemiennych należy odróżniać zdefiniowany powyżej prawy okres od lewego okresu.

edytuj Przykłady funkcji okresowych

Przykładami funkcji okresowych są funkcje trygonometryczne (2π-okresowe sinus, kosinus, sekans, kosekans, oraz -okresowe tangens, kotangens), funkcja stała (której okresem jest każda liczba różna od zera), funkcja wykładnicza rozpatrywana na zbiorze liczb zespolonych, której okresem podstawowym jest 2πi.

edytuj Analiza harmoniczna

edytuj Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• okres (fizyka)
• Funkcja prawie okresowa