Funkcje Bessela.html

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcje Bessela – rozwiązania y(x) równania różniczkowego drugiego stopnia ze zmiennymi współczynnikami (równania Bessela):

$x^2\frac{d^2 y}{dx^2}+x\frac{d y}{dx}+(x^2-\alpha^2)y=0$

gdzie α jest dowolną liczbą rzeczywistą. Zostały po raz pierwszy podane przez szwajcarskiego matematyka Daniela Bernoulliego.

Szczególnym przypadkiem, o szerokim zastosowaniu (m.in. w analizie rozkładu pola elektromagnetycznego czy przetwarzaniu sygnałów) są równania, gdzie α jest liczbą naturalną n, zwaną rzędem funkcji Bessela.

Ponieważ mamy do czynienia z równaniem różniczkowym drugiego stopnia, musimy otrzymać dwa liniowo niezależne rozwiązania.

edytuj Funkcje Bessela pierwszego rodzaju

Z funkcjami tymi mamy do czynienia, jeśli wartości rozwiązania przy x=0 są liczbami skończonymi:

$J_\alpha(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\alpha}}{k!\Gamma(k+\alpha+1)}$ ,

gdzie Γ to funkcja gamma Eulera.

Wykres funkcji Bessela pierwszego rodzaju, rzędu 0, 1 i 2

edytuj Funkcje Bessela drugiego rodzaju

Zwane są również funkcjami Neumanna i występują wówczas, gdy dla x=0 wartości rozwiązań dążą do nieskończoności:

$Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},$

Wykres funkcji Bessela drugiego rodzaju, rzędu 0, 1 i 2

edytuj Funkcja generująca funkcje Bessela

Jeżeli rozwiniemy funkcję g(x, t) postaci $g(x,t) = e ^{ \frac{x}{2} \left( t-\frac{1}{t} \right) }$

w szereg Laurenta względem zmiennej t, to współczynniki tego rozwinięcia będą funkcjami Bessela I rodzaju.

$g(x,t) = e ^{ \frac{x}{2} \left( t-\frac{1}{t} \right) } = \sum _{n = -\infty}^{\infty} J_{n}(x) t^{n}$

Funkcje Bessela.html

Spis treści

edytuj Funkcje Bessela pierwszego rodzaju

edytuj Funkcje Bessela drugiego rodzaju

edytuj Funkcja generująca funkcje Bessela

edytuj Zmodyfikowane funkcje Bessela

edytuj Funkcje Henkela

edytuj Zmodyfikowane funkcje Henkela

edytuj Właściwości funkcji