Funkcje hiperboliczne.html

Funkcje matematyczne

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcje hiperboliczne – funkcje zmiennej rzeczywistej lub zespolonej określone następująco:

sinus hiperboliczny: $\sinh x = {e^x - e^{-x}\over 2}$ (oznaczany również sh(x))
cosinus hiperboliczny: $\cosh x = {e^x + e^{-x}\over2}$ (oznaczany również ch(x))
tangens hiperboliczny: $\operatorname{tgh} x = {\sinh x \over\cosh x} = {{e^x - e^{-x}}\over{e^x + e^{-x}}}$ (oznaczany również th(x))
cotangens hiperboliczny: $\operatorname{ctgh} x = {\cosh x \over\sinh x} = {{e^x + e^{-x}}\over{e^x - e^{-x}}}$ (oznaczany również cth(x))
secans hiperboliczny: $\mbox{sech} x = {1\over\cosh x} = {\frac{2}{e^x+e^{-x}}}$
cosecans hiperboliczny: $\mbox{csch} x = {1\over\sinh x} = {\frac{2}{e^x-e^{-x}}}$

Spis treści

1 Związek z funkcjami trygonometrycznymi
2 Właściwości funkcji hiperbolicznych
3 Związki pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi
4 Pochodne funkcji hiperbolicznych
5 Rozwinięcia w szeregi potęgowe
6 Rozwinięcia w iloczyny nieskończone
7 Funkcje odwrotne
8 Wykresy
9 Zobacz też

edytuj Związek z funkcjami trygonometrycznymi

Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci (cos x, sin x) jest okręgiem, analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci (cosh(x), sinh(x)) wyznacza hiperbolę. Wynika to z następującej tożsamości, znanej jako jedynka hiperboliczna:

$(\cosh t)^2 - (\sinh t)^2 = 1 \,$

Prawdziwe są również wzory:

$\sinh{(2t)}= 2 \sinh t \cosh t \,$

$\cosh{(2t)}= (\cosh t)^2 + (\sinh t)^2 \,$

Ponadto, korzystając ze wzoru Eulera

$e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$

można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, z zastosowaniem liczb zespolonych:

$\sinh(ix) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = i \sin(x)$

$\cosh(ix) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \cos(x)$

$\operatorname{tgh}(ix) = i \operatorname{tg}(x) \,$

$\sinh x = -i \sin(ix) \,$

$\cosh x = \cos(ix) \,$

$\operatorname{tgh} x = -i \operatorname{tg}(ix) \,$

$\operatorname{ctgh}(ix) = \frac{\operatorname{ctg}(x)}{i} = -i \operatorname{ctg}(x)$

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem 2πi (sinh, cosh, sech, csech), albo πi (tgh, ctgh).

edytuj Właściwości funkcji hiperbolicznych

Sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i funkcją rosnącą
Cosinus hiperboliczny jest funkcją parzystą i funkcją rosnącą dla x>0 i malejącą dla x<0
Tangens hiperboliczny jest funkcją nieparzystą
$\sinh(\ln(\phi))=\frac{1}{2}$ przy czym φ jest złotą proporcją
$\cosh(\ln(\phi))=\frac{1}{2} \sqrt{5}$ przy czym φ jest złotą proporcją

edytuj Związki pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi

Odpowiednikiem wzoru jedynkowego $sin 2 x + cos 2 x = 1$ jest $c o s h 2 (z) - s i n h 2 (z) = 1$ . Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.

edytuj Pochodne funkcji hiperbolicznych

$\operatorname{sinh}'(x) = \operatorname{cosh}(x)$

$\operatorname{cosh}'(x) = \operatorname{sinh}(x)$

$\operatorname{tgh}'(x) = {1\over{\cosh^2(x)}} = 1 - {\operatorname{tgh}^2(x)}$

$\operatorname{ctgh}'(x) = {{-1}\over{\sinh^2(x)}} = 1 - {\operatorname{ctgh}^2(x)}$

Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji hiperbolicznych

edytuj Rozwinięcia w szeregi potęgowe

$\sinh z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}=z+\frac{1}{6}z^3+\frac{1}{120}z^5+\frac{1}{5040}z^7+\cdots$

$\cosh z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{1}{2}z^2+\frac{1}{24}z^4+\frac{1}{720}z^6+\cdots$

edytuj Rozwinięcia w iloczyny nieskończone

$\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

edytuj Funkcje odwrotne

Funkcje hiperboliczne posiadają funkcje odwrotne zwane funkcjami area. Są one wyrażone przez logarytmy. Funkcją odwrotną do sinh jest area sinus hiperboliczny, do cosh area cosinus hiperboliczny itd.

edytuj Wykresy

Oto wykres funkcji sinh:

Wykres funkcji cosh ma kształt krzywej łańcuchowej: