Funkcje hiperboliczne odwrotne.html

Funkcje matematyczne

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcje hiperboliczne odwrotne (funkcje polowe, funkcje area) – funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Definiuje się je następującymi wzorami:

$\operatorname{arsinh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

(area sinus hiperboliczny) - funkcja odwrotna do sinusa hiperbolicznego

$\operatorname{arcosh} x = \ln(x \pm \sqrt{x^2 - 1}) = \pm\ln (x+ \sqrt{x^2-1})$

(area cosinus hiperboliczny) - funkcja odwrotna do cosinusa hiperbolicznego

$\operatorname{artanh} x = \ln\left(\sqrt{\frac{1 + x}{1-x}}\right) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

(area tangens hiperboliczny) - funkcja odwrotna do tangensa hiperbolicznego

$\operatorname{arctgh} x = \ln\left(\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}\right) = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln \frac{x + 1}{x - 1}$

(area cotangens hiperboliczny) - funkcja odwrotna do cotangensa hiperbolicznego

$\operatorname{arsech} x = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)$

(area secans hiperboliczny) - funkcja odwrotna do secansa hiperbolicznego

$\operatorname{arcsch} x = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 + x^2}}{x}\right)$

(area cosecans hiperboliczny) - funkcja odwrotna do cosecansa hiperbolicznego

Spis treści

1 Area sinus
2 Area cosinus
3 Area tangens
4 Area cotangens
5 Funkcje hiperboliczne odwrotne jako całki
6 Związek z funkcjami cyklometrycznymi
7 Pochodne funkcji area
8 Właściwości analityczne

edytuj Area sinus

Area sinus hiperboliczny

Area cosinus hiperboliczny, górna gałąź krzywej

Area tangens hiperboliczny

Area cotangens hiperboliczny

Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji area

Dziedziną funkcji oraz przeciwdziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ . Funkcja w punkcie $x = 0$ ma punkt przegięcia, jest rosnąca na całej dziedzinie i nie ma asymptot.

edytuj Area cosinus

Area cosinus hiperboliczny, jako funkcja odwrotna do funkcji parzystej - jest niejednoznaczny. Funkcja ma dwie gałęzie, które obie są określone tylko na przedziale $[1; +\infty)$ . Ogólnie:

$\mathrm{arcosh}(x)=\ln(x\pm \sqrt{x^2-1})$

Poszczególne gałęzie są dane wzorami:

$\mathrm{arcosh}_1(x)=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$

$\mathrm{arcosh}_2(x)=\ln(x-\sqrt{x^2-1})$

Dziedziną funkcji jest przedział $[1,\infty)\,$ .

edytuj Area tangens

Dziedziną funkcji jest przedział $(-1,1)\,$ , jest nieparzysta oraz rosnąca. Ma dwie asymptoty: $x=-1,\;x=1\,$ .

edytuj Area cotangens

Dziedziną funkcji area cotangens jest przedział $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)\,$ . Funkcja nie ma ekstremów i punktów przegięcia, ma 3 asymptoty: $y=0,\;x=-1,\;x=1\,$ .

edytuj Funkcje hiperboliczne odwrotne jako całki

$\int \frac {dx} {\sqrt{1 - x^2}} = \operatorname{arcsin}(x) = - \operatorname{arccos}(x) + \frac {\pi}{2}+C$

$\int \frac {dx} {\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh}(x)+C = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})+C$

$\int \frac {dx} {\sqrt{x^2 - 1}} = \operatorname{arcosh}(x)+C = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})+C$

$\begin{array}{lll} \int \sqrt{1 - x^2} dx & = & \frac{1}{2}\left(\operatorname{arcsin}x + x\sqrt{1 - x^2}\right)+C\end{array}$

$\begin{array}{lll}\int \sqrt{x^2 + 1} dx & = & \frac{1}{2}\left(\operatorname{arsinh}x + x\sqrt{x^2 + 1}\right)+C\\ & = & \frac{1}{2}\left(\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + x\sqrt{x^2 + 1}\right)+C\end{array}$

$\begin{array}{lll}\int \sqrt{x^2 - 1} dx & = & \frac{1}{2}\left(- \operatorname{arcosh}x + x\sqrt{x^2 - 1}\right)+C\\ & = & \frac{1}{2}\left(- \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) + x\sqrt{x^2 - 1}\right)+C\end{array}$

$\int \frac {dx} {1 + x^2} = \operatorname{arctg}x+C$

$\int \frac {dx} {1 - x^2} = \operatorname{artgh}x+C = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+C$

edytuj Związek z funkcjami cyklometrycznymi

$\operatorname{arsinh}x = i \arcsin(-ix)$

$\operatorname{arcosh}x = i \arccos x$

$\operatorname{artgh}x = i \arctan(-ix)$

edytuj Pochodne funkcji area

$\frac{d}{dx}\mathrm{arsinh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
pochodnymi gałęzi area cosinusa hiperbolicznego są:

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcosh}_1(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcosh}_2(x)=\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}$

edytuj Właściwości analityczne

area sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i rosnącą
funkcją odwrotną dla pierwszej gałęzi area cosinusa hiperbolicznego jest cosinus hiperboliczny dla argumentów większych od zera; dla drugiej gałęzi cosinus hiperboliczny dla argumentów mniejszych od zera

Zobacz też: przegląd zagadnień z zakresu matematyki