WikiPortallus: Funkcje parzyste i nieparzyste.html

Funkcje matematyczne

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcje parzyste i nieparzyste to funkcje zachowujące symetrię względem znaku argumentu. Mianowicie:

Dziedzina funkcji parzystych i nieparzystych jest symetryczna: jeżeli

x

należy do dziedziny, to

- x

również.

edytuj Wykresy

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi

O Y

, a nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Jeśli

0

należy do dziedziny nieparzystej funkcji

f

, to

f (0) = 0

(wykres funkcji przechodzi przez środek układu współrzędnych).

edytuj Przykłady

edytuj Funkcje parzyste

wartość bezwzględna $\ f(x) = |x|$ ,

funkcja potęgowa o parzystym wykładniku, $\ f(x) =x^{2k}, k\in \mathbb N$ ,

funkcja trygonometryczna $\ f(x)=\cos x$ ,

funkcja hiperboliczna $\ f(x)=\cosh x$ ,

wielomiany zawierające niezerowe współczynniki tylko przy parzystych potęgach zmiennej (np. $\ f(x)=x^{10}+2x^{6}-x^{2}+4$ ).

edytuj Funkcje nieparzyste

funkcja liniowa $f(x)= \ ax$ (proporcjonalność prosta),

funkcja potęgowa o nieparzystym wykładniku: $f(x)=x^{2k+1}, k\in \mathbb N$ ,

funkcje trygonometryczne $\ f(x)=\sin x$ i $f(x)=\operatorname{tg} x$ ,

funkcja hiperboliczna $f(x)= \operatorname{tgh} x$

wielomiany o niezerowych współczynnikach tylko przy nieparzystych potęgach zmiennej (np. $f(x)=x^7+6x^5-10x^3+\sqrt{3\pi}x$ )

edytuj Własności

Funkcje parzyste (poza szczególnymi przypadkami funkcji pustej oraz funkcji określonej jedynie w zerze) nigdy nie są różnowartościowe.

Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. niestała funkcja wykładnicza.

Jedynymi funkcjami będącymi jednocześnie parzystymi i nieparzystymi są funkcje stałe równe zeru w każdym punkcie swojej dziedziny:

f (x) = 0

dla wszystkich $x \in D$ .

Oba zbiory funkcji parzystych i funkcji nieparzystych ze standardowymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę stanowią przestrzenie liniowe.

Każdą funkcję

f

, dla której takie stwierdzenie ma sens, można rozbić na sumę funkcji

g

parzystej i

h

nieparzystej, gdzie dla każdego

x

z dziedziny

g (x) = 1 / 2(f (x) + f ( - x))

oraz

h (x) = 1 / 2(f (x) - f ( - x))

Niech $f_{1},\,f_{2}$ będą funkcjami parzystymi, a $g_{1},\,g_{2}$ funkcjami nieparzystymi. Wtedy:

$f_{1} \cdot f_{2}$ oraz $\frac{f_{1}}{f_{2}}$ (w dziedzinie zmniejszonej o miejsca zerowe $f 2$ ) są funkcjami parzystymi,
$g_{1} \cdot g_{2}$ oraz $\frac{g_{1}}{g_{2}}$ (w dziedzinie zmniejszonej o miejsca zerowe $g 2$ ) są funkcjami parzystymi,
$f_{1} \cdot g_{1}$ oraz $\frac{f_{1}}{g_{1}}$ (w dziedzinie zmniejszonej o miejsca zerowe $g 1$ ) są funkcjami nieparzystymi,
$f_{1} \circ f_{2}$ jest funkcją parzystą,
$g_{1} \circ g_{2}$ jest funkcją nieparzystą,
$f_{1} \circ g_{1}$ jest funkcją parzystą,
$g_{1} \circ f_{1}$ jest funkcją parzystą.

Funkcje parzyste i nieparzyste.html

Spis treści

edytuj Wykresy

edytuj Przykłady

edytuj Funkcje parzyste

edytuj Funkcje nieparzyste

edytuj Własności

edytuj Zobacz też