Funkcje trygonometryczne.html

Funkcje matematyczne

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcje trygonometryczne – funkcje matematyczne, wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego w zależności od miar jego kątów wewnętrznych.

Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens, cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans). Secans i cosecans są obecnie rzadko używane. Funkcję secans w Europie wprowadził Mikołaj Kopernik w dziele De revolutionibus orbium coelestium (1543)^[1], choć arabscy matematycy używali jej prawdopodobnie już w X wieku.

Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych i technice; dział matematyki zajmujący się tymi funkcjami to trygonometria.

edytuj Definicje

Istnieje wiele równoważnych definicji funkcji trygonometrycznych, zarówno bazujących na pojęciach geometrycznych, jak i analitycznych.

edytuj Definicja z elementów trójkąta prostokątnego

Funkcje trygonometryczne dla miar kątów ostrych można zdefiniować jako stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego przy kącie wewnętrznym danej miary^[2].

Oznaczenia boków i kątów użyte w definicji z trójkąta prostokątnego

Poniższa tabela pokazuje, które funkcje trygonometryczne wyrażają się przez ilorazy długości odpowiednich boków trójkąta^[2].

	$\tfrac{a}{\cdot}$	$\tfrac{b}{\cdot}$	$\tfrac{c}{\cdot}$
$\tfrac{\cdot}{a}$	$1\$	$\operatorname{ctg}\ \alpha$	$\csc\ \alpha$
$\tfrac{\cdot}{b}$	$\operatorname{tg}\ \alpha$	$1\$	$\sec\ \alpha$
$\tfrac{\cdot}{c}$	$\operatorname{sin}\ \alpha$	$\operatorname{cos}\ \alpha$	$1\$

sinus – oznaczany sin – stosunek długości przyprostokątnej $a\;$ przeciwległej do kąta ostrego (na rysunku $\alpha\;$ ) i przeciwprostokątnej $c\;$
cosinus (lub kosinus) – oznaczany cos – stosunek długości przyprostokątnej przyległej $b\;$ do kąta ostrego $\alpha\;$ i przeciwprostokątnej $c\;$
tangens – oznaczany tg (tan w krajach anglojęzycznych) – stosunek długości przyprostokątnej $a\;$ przeciwległej do kąta ostrego $\alpha\;$ i przyprostokątnej $b\;$ przyległej do kąta ostrego
cotangens (kotangens) – oznaczany ctg (lub też cot, cotan) – stosunek długości przyprostokątnej $b\;$ przyległej do kąta ostrego $\alpha\;$ i przyprostokątnej $a\;$ przeciwległej do kąta ostrego
secans (sekans) – oznaczany sec – stosunek długości przeciwprostokątnej $c\;$ i przyprostokątnej $b\;$ przyległej do kąta ostrego $\alpha\;$ ; odwrotność cosinusa
cosecans (kosekans) – oznaczany cosec lub csc – stosunek długości przeciwprostokątnej $c\;$ i przyprostokątnej $a\;$ naprzeciw kąta ostrego $\alpha\;$ ; odwrotność sinusa

Dla miar kątów $\alpha\;$ większych od 90° oraz dla ujemnych miar kątów skierowanych $\alpha\;$ powyższą definicję można uogólnić, przyjmując ujemną długość odpowiednich odcinków.

Dawniej używano też kilku innych funkcji, takich jak sinus versus:

$\operatorname{versin}\ x=1-\cos x$

czy też haversin (ang. half of the versine):

$\operatorname{haversin}\ x = \tfrac{1}{2}\ \operatorname{versin}\ x$

Obecnie są one rzadko spotykane, choć zastosowanie funkcji haversin upraszcza np. obliczanie odległości dwóch punktów na powierzchni Ziemi^[3].

edytuj Definicja za pomocą kąta skierowanego

Definicja na ramieniu kąta

Jeżeli płaski kąt skierowany $α$ ustawi się tak, że jego wierzchołek znajduje się w początku prostokątnego układu współrzędnych $O$ , pierwsze ramię kąta pokrywa się z pierwszą dodatnią półosią układu, a jego drugie ramię jest dowolną półprostą leżącą w płaszczyźnie układu, wychodzącą z punktu $O$ oraz zawierającą pewien punkt $M = (a, b)$ różny od $O$ , to funkcje trygonometryczne miary kąta skierowanego $α$ będą określone wzorami:

$\sin \alpha =\tfrac{b}{r}$
$\cos \alpha =\tfrac{a}{r}$
$\operatorname{tg}\, \alpha =\tfrac{b}{a}$
$\operatorname{ctg}\, \alpha =\tfrac{a}{b}$
$\sec \alpha =\tfrac{r}{a}$
$\csc \alpha =\tfrac{r}{b}$

gdzie $r = |OM|\;$ .

Stosunki te nie zależą od położenia punktu $M$ na ramieniu kąta $α$ (wynika to wprost z własności podobieństwa trójkątów, a w przypadku cosinusa i secansa także z twierdzenia Talesa).

edytuj Definicja na okręgu jednostkowym

Definicja na okręgu jednostkowym

Jeżeli wokół wierzchołka kąta poprowadzony zostanie okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy, to funkcje trygonometryczne miary kąta ostrego $θ$ wyrażać się będą przez długości odpowiednich odcinków^[4]:

$\sin \theta =|AC|\$
$\cos \theta =|OC|\$
$\operatorname{tg}\ \theta =|AE|\$
$\operatorname{ctg}\ \theta =|AF|\$
$\sec \theta =|OE|\$
$\csc \theta =|OF|\$

Dla miar kątów spoza przedziału $[0,π]$ , konieczne jest uogólnienie i przyjęcie ujemnej miary niektórych odcinków, podobnie jak w przypadku definicji na trójkącie prostokątnym.

Alternatywnie jako argument funkcji trygonometrycznych zamiast długości łuku DA można przyjąć pole wycinka OBDA – ich wartości dla promienia 1 są równe. Definicja na okręgu jednostkowym ma swój odpowiednik dla funkcji hiperbolicznych, gdzie argument funkcji definiowany jest jako pole wycinka hiperboli, analogicznego do OBDA.

edytuj Definicja za pomocą szeregu Taylora

Zobacz więcej w osobnym artykule: szereg Taylora.

Funkcja sinus i jej aproksymacje wielomianami stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13 utworzonymi z początkowych wyrazów szeregu Taylora

Funkcje trygonometryczne, choć wywodzą się z pojęć geometrycznych, są rozpatrywane także w oddzieleniu od geometrii. W analizie matematycznej funkcje trygonometryczne definiuje się za pomocą szeregów potęgowych lub jako rozwiązania pewnych równań różniczkowych.

Definicje te określają wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych liczb rzeczywistych (z oczywistymi wyjątkami), pozwalają też na uogólnienie tych funkcji na zbiór liczb zespolonych, kwaternionów, macierzy, a nawet na algebry operatorów, przestrzenie unormowane czy pierścienie nilpotentne (w ostatnim przypadku szereg Taylora ma tylko skończoną liczbę wyrazów różną od 0). Definicje te są też stosowane do obliczania wartości funkcji trygonometrycznych.

Zachodzą równości^[5]^[6]:

$\sin x = x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \tfrac{x^7}{7!} + \cdots =$

$=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\tfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cos x = 1 - \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^4}{4!} - \tfrac{x^6}{6!} + \cdots =$

$=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\tfrac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\mbox{tg} x = x + \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{2 x^5}{15} + \cdots =$

$=\sum^{\infin}_{n=1} \tfrac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad,\; |x|<\tfrac{\pi}{2}$

gdzie $B_n\;$ to liczby Bernoulliego

$\mbox{ctg} x= \tfrac {1} {x} - \tfrac {x}{3} - \tfrac {x^3} {45} - \tfrac {2 x^5} {945} - \cdots =$

$=\sum_{n=0}^\infty \tfrac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, 0 < |x| < \pi$

$\sec x = 1 + \tfrac {x^2} {2} + \tfrac {5 x^4} {24} + \tfrac {61 x^6} {720} + \cdots =$

$=\sum^{\infin}_{n=0} \tfrac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n},\; |x|< \tfrac{\pi}{2}$

gdzie $E_n\;$ to liczby Eulera

$\csc x = \tfrac {1} {x} + \tfrac {x} {6} + \tfrac {7 x^3} {360} + \tfrac {31 x^5} {15120} + \cdots =$

$= \sum_{n=0}^\infty \tfrac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, 0 < |x| < \pi$

Każdą z funkcji trygonometrycznych, na dowolnym przedziale zawierającym się w jej dziedzinie, można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami. W otoczeniu zera mogą do tego służyć początkowe wyrazy szeregu Taylora. Nie jest jednak możliwe jednostajne przybliżenie wielomianami funkcji trygonometrycznych w całej ich dziedzinie.

Zobacz też: twierdzenie Stone'a-Weierstrassa.

edytuj Definicja za pomocą równań funkcyjnych

Twierdzenie: Istnieje dokładnie jedna para funkcji rzeczywistych (s, c) taka, że dla każdego $x, y \in\mathbb{R}$ :

$\begin{cases} s(x)^2 + c(x)^2 = 1\\ s(x+y) = s(x)c(y) + c(x)s(y)\\ c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y)\\ 0 < xc(x) < s(x) < x\ \mathrm{dla}\ 0 < x < 1 \end{cases}$

Tą parą jest:

$\begin{cases} s(x)=\sin x \\ c(x)=\cos x \end{cases}$

Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus można zdefiniować^[7] również jako jedyne funkcje $s (x)$ oraz $c (x)$ spełniające poniższe trzy warunki:

$\begin{cases} W1\colon & s(x_1-x_2)=s(x_1)c(x_2)-c(x_1)s(x_2) \\ W2\colon & c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)+s(x_1)s(x_2) \\ W3\colon & \lim\limits_{x\to 0}\tfrac{s(x)}{x}=1 \end{cases}$

edytuj Definicja za pomocą równań różniczkowych

Sinus i cosinus są rozwiązaniami szczególnymi równania różniczkowego

$y^{\prime\prime}=-y$

Sinus jest jedynym rozwiązaniem tego równania spełniającym warunki:

$y(0)=0\wedge y^\prime(0)=1$

Cosinus natomiast jest jedynym rozwiązaniem, dla którego

$y(0)=1\wedge y^\prime(0)=0$

To równanie różniczkowe opisuje m.in. ruch masy podwieszonej na sprężynie (tzw. oscylator harmoniczny, patrz Harmoniki).

edytuj Definicja za pomocą iloczynów nieskończonych

Funkcje trygonometryczne można też wyprowadzić w postaci iloczynów nieskończonych^[8]:

$\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \tfrac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \tfrac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

edytuj Definicja za pomocą ułamków łańcuchowych

Niektóre funkcje trygonometryczne można wyrazić w postaci ułamków łańcuchowych^[9]^[10]^[11]:

$\sin x=\cfrac{x}{1+\cfrac{x^2}{(2\cdot 3-x^2)+\cfrac{2\cdot 3 x^2}{(4\cdot 5-x^2)+\cfrac{4\cdot 5 x^2}{(6\cdot 7-x^2)+\dots}}}}$

$\operatorname{tg}\ x=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{7-\dots}}}}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{3}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{5}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{7}{x}-\dots}}}}$

$\operatorname{ctg}\ x=\cfrac{1}{x}-\cfrac{x}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{7-\cfrac{x^2}{9-\dots}}}}$

edytuj Własności

Dziedziną sinusa i cosinusa jest zbiór liczb rzeczywistych.
Tangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb mających postać $(2 k - 1)π / 2$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.
Cotangens jest określony w zbiorze powstałym ze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych przez usunięcie liczb o postaci $k π$ , gdzie k jest liczbą całkowitą.
Sinus i cosinus są ograniczone: przyjmują wartości z przedziału $[ - 1,1]$ . Tangens i cotangens przyjmują dowolne wartości rzeczywiste, a secans i cosecans wartości ze zbioru $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ ^[12].
Funkcje sinus, tangens, cotangens, cosecans są nieparzyste, a funkcje cosinus i secans parzyste:

$\begin{array}{l l}\sin (-x) = -\sin x & \mbox{tg }(-x) = -\mbox{tg } x \\\cos (-x) = \cos x & \mbox{ctg } (-x) = -\mbox{ctg } x\end{array}$

Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi. Okresem podstawowym sinusa, cosinusa, secansa i cosecansa jest liczba $2π$ a tangensa i cotangensa $π$ ^[13]^[14]:

$\begin{array}{l l}\sin x = \sin(x + k \cdot 2\pi) & \mbox{tg } x = \mbox{tg } (x + k \cdot \pi) \\\cos x = \cos(x + k \cdot 2\pi) & \mbox{ctg } x = \mbox{ctg } (x + k \cdot \pi)\end{array}$

gdzie

k

jest liczbą całkowitą.

Funkcje trygonometryczne są ciągłe w swojej dziedzinie. Tangens, cotangens, secans i cosecans także są ciągłe w swoich dziedzinach, lecz ich dziedziny nie obejmują niektórych liczb rzeczywistych.
Funkcje trygonometryczne zalicza się do funkcji elementarnych. Nie są one jednak funkcjami algebraicznymi.
Żadna z nich nie jest różnowartościową, a zatem nie istnieją funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych w całej dziedzinie. Natomiast po ograniczeniu zakresu argumentów funkcji do pewnych przedziałów, funkcje te stają się różnowartościowe i będą miały funkcje odwrotne.
$\sin x\;$ oraz $\cos x\;$ są liczbami przestępnymi dla każdego algebraicznego $x$ różnego od 0. Są one liczbami algebraicznymi dla wszelkich $x$ postaci $x=r\pi\;$ , gdzie $r$ jest liczbą wymierną^[15].

edytuj Wykresy

edytuj Argument rzeczywisty

Krzywe, będące wykresami funkcji sinus, cosinus, tangens, cotangens nazywa się odpowiednio: sinusoidą, cosinusoidą (kosinusoidą), tangensoidą i cotangensoidą (kotangensoidą)^[14].

Cosinusoida jest sinusoidą przesuniętą o wektor $\left[-\tfrac{\pi}{2},0\right]$ .

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Sinusoida: wykres funkcji $y=\sin x\;$

Cosinusoida: wykres funkcji $y=\cos x\;$

Tangensoida: wykres funkcji $y=\operatorname{tg}\ x.\;$ Linie pionowe to asymptoty.

Cotangensoida: wykres funkcji $y=\operatorname{ctg}\ x.\;$ Linie pionowe to asymptoty.

Wykres funkcji secans $y=\sec x=1/\cos x.\;$ Linie pionowe to asymptoty.

Wykres funkcji cosecans $y=\csc x=1/\sin x.\;$ Linie pionowe to asymptoty.

edytuj Argument zespolony

Liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej zostały oznaczone kolorami, zgodnie z umownym schematem podanym z lewej strony.
	Funkcja sinus Funkcja cosinus Funkcja tangens Funkcja cotangens Funkcja secans Funkcja cosecans

edytuj Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Zobacz więcej w osobnym artykule: Tożsamości trygonometryczne.

Związki między funkcjami trygonometrycznymi spełnione dla dowolnego argumentu ich dziedziny to tzw. tożsamości trygonometryczne. Często używane są:

jedynka trygonometryczna^[16]:

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \,$

definicja tangensa i kotangensa za pomocą sinusa i cosinusa (pozwala wyprowadzić tożsamości dla tangensa i kotangensa z tożsamości dla sinusa i cosinusa)^[16]:

$\operatorname{tg}\ x=\tfrac{\sin x}{\cos x}$

$\operatorname{ctg}\ x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$

Wyprowadzenie wzoru $\sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta$

wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów^[16]:

$\sin (x \pm y) = \sin x \cdot \cos y \pm \cos x \cdot \sin y \,$

$\cos (x \pm y) = \cos x \cdot \cos y \mp \sin x \cdot \sin y \,$

wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów^[16]:

$\sin x \pm \sin y = 2 \sin \tfrac {x \pm y} 2 \cdot \cos \tfrac {x \mp y } 2$

$\cos x + \cos y = 2 \cos \tfrac {x + y} 2 \cdot \cos \tfrac {x - y } 2$

$\cos x - \cos y = -2 \sin \tfrac {x + y} 2 \cdot \sin \tfrac {x - y } 2$

wzory na sinus i cosinus podwojonego argumentu^[17]:

$\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x \,$

$\left.\cos 2x = 2\cos^2x - 1 \right.$

wzory na sinus i cosinus połowy argumentu^[18]:

$\left| \sin\tfrac{1}{2}x \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1-cos x}{2}}}$

$\left| \cos\tfrac{1}{2}x \right|=\scriptstyle{\sqrt{\frac{1+cos x}{2}}}$

iloczyn w postaci sumy^[18]:

$\cos x \cdot \cos y = \tfrac{\cos (x - y) + \cos (x + y)} 2$

$\sin x \cdot \sin y = \tfrac{\cos (x - y) - \cos (x + y)} 2$

$\sin x \cdot \cos y = \tfrac{\sin (x - y) + \sin (x + y)} 2$

wzory na wyrażanie jednych funkcji trygonometrycznych przez inne^[16]:

$\sin \alpha = \cos \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,$

$\cos \alpha = \sin \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right)\,$

$\operatorname{tg} \alpha = \tfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{ctg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \,$

$\operatorname{ctg} \alpha = \tfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{tg} \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) = \tfrac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \,$

$\sec \alpha = \tfrac{1}{\cos \alpha} = \csc \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,$

$\csc \alpha =\tfrac{1}{\sin \alpha} = \sec \left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha \right) \,$

Istnieje niemal mechaniczna metoda upraszczania wyrażeń trygonometrycznych (zob. wzór Eulera).

edytuj Wzory redukcyjne

Zobacz więcej w osobnym artykule: Trygonometryczne wzory redukcyjne .

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić dowolny rzeczywisty argument funkcji trygonometrycznej do argumentu z przedziału $[0,π)$ czyli $[0 deg,90 deg)$ ^[19]:

	I ćwiartka	II ćwiartka		III ćwiartka		IV ćwiartka
$\phi\;$	$90^\circ-\alpha\;$	$90^\circ+\alpha\;$	$180^\circ-\alpha\;$	$180^\circ+\alpha\;$	$270^\circ-\alpha\;$	$270^\circ+\alpha\;$	$360^\circ-\alpha\;$
$\phi\;$	$\tfrac{\pi}{2}-\alpha\;$	$\tfrac{\pi}{2}+\alpha\;$	$\pi-\alpha\;$	$\pi+\alpha\;$	$\tfrac{3}{2}\pi-\alpha\;$	$\tfrac{3}{2}\pi+\alpha\;$	$2\pi-\alpha\;$
$\sin{\phi}\;$	$\cos{\alpha}\;$	$\cos{\alpha}\;$	$\sin{\alpha}\;$	$-\sin{\alpha}\;$	$-\cos{\alpha}\;$	$-\cos{\alpha}\;$	$-\sin{\alpha}\;$
$\cos{\phi}\;$	$\sin{\alpha}\;$	$-\sin{\alpha}\;$	$-\cos{\alpha}\;$	$-\cos{\alpha}\;$	$-\sin{\alpha}\;$	$\sin{\alpha}\;$	$\cos{\alpha}\;$
$\operatorname{tg}{\phi}$	$\operatorname{ctg}{\alpha}$	$-\operatorname{ctg}{\alpha}$	$-\operatorname{tg}{\alpha}$	$\operatorname{tg}{\alpha}$	$\operatorname{ctg}{\alpha}$	$-\operatorname{ctg}{\alpha}$	$-\operatorname{tg}{\alpha}$
$\operatorname{ctg}{\phi}$	$\operatorname{tg}{\alpha}$	$-\operatorname{tg}{\alpha}$	$-\operatorname{ctg}{\alpha}$	$\operatorname{ctg}{\alpha}$	$\operatorname{tg}{\alpha}$	$-\operatorname{tg}{\alpha}$	$-\operatorname{ctg}{\alpha}$

Aby zapamiętać zmianę funkcji, można wspomagać się następującą obserwacją: funkcja przechodzi w swoją ko-funkcję, jeżeli rozpatrywany kąt ma postać $90^\circ \pm \alpha$ bądź $270^\circ \pm \alpha$ , w przypadkach $0^\circ \pm \alpha = 360^\circ \pm \alpha$ oraz $180^\circ \pm \alpha$ funkcja nie ulega zmianie. Znaki w poszczególnych ćwiartkach układu dla odpowiednich funkcji w powyższej tabelce zgodne są ze znakami redukowanych funkcji w danej ćwiartce wg tabeli^[12]:

	I ćwiartka	II ćwiartka	III ćwiartka	IV ćwiartka
$\sin\ \alpha$	+	+	–	–
$\cos\ \alpha$	+	–	–	+
$\operatorname{tg}\ \alpha$	+	–	+	–
$\operatorname{ctg}\ \alpha$	+	–	+	–
$\sec\ \alpha$	+	–	–	+
$\csc\ \alpha$	+	+	–	–

Metodą mnemotechniczną zapamiętania znaków dla stosowanych najczęściej w redukcji pierwszych czterech spośród powyższych funkcji jest popularny wierszyk:

W pierwszej ćwiartce są dodatnie,

W drugiej tylko sinus,

W trzeciej tangens i kotangens,

A w czwartej kosinus.

W innych wersjach pierwszy wers brzmi:

W pierwszej ćwiartce same plusy.

W pierwszej wszystkie są dodatnie.

edytuj Wartości dla typowych kątów

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 15°, 22½°, 30°, 45°, 60°, 90°^[20]
radiany	$0\;$	$\frac{\pi}{12}$	$\frac{\pi}{8}$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
stopnie	$0^\circ\;$	$15^\circ\;$	${22 \tfrac{1}{2}}^\circ\;$	$30^\circ\;$	$45^\circ\;$	$60^\circ\;$	$90^\circ\;$
$\sin\;$	$0\;$	$\tfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1\;$
$\cos\;$	$1\;$	$\scriptstyle{\tfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}}$	$\tfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{1}{2}$	$0\;$
$\operatorname{tg}\;$	$0\;$	$\scriptstyle{\sqrt{7-4\sqrt{3}}}$	$\sqrt{2}-1$	$\tfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1\;$	$\sqrt{3}$	nieokreślony
$\operatorname{ctg}\;$	nieokreślony	$\scriptstyle{\sqrt{7+4\sqrt{3}}}$	$\sqrt{2}+1$	$\sqrt{3}$	$1\;$	$\tfrac{\sqrt{3}}{3}$	$0\;$
$\sec\;$	$1\;$	$\scriptstyle{2\sqrt{2-\sqrt{3}}}$	$\scriptstyle{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}$	$\tfrac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2\;$	nieokreślony
$\csc\;$	nieokreślony	$\scriptstyle{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}$	$\scriptstyle{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}$	$2\;$	$\sqrt{2}$	$\tfrac{2\sqrt{3}}{3}$	$1\;$

edytuj Funkcje odwrotne do trygonometrycznych

Zobacz więcej w osobnym artykule: Funkcje odwrotne do trygonometrycznych.

Funkcje odwrotne do trygonometrycznych nazywane są też funkcjami kołowymi lub cyklometrycznymi. Ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych funkcje te są do nich odwrotne jedynie w przedziale $y$ obejmującym jeden okres^[21].

Nazwa	Zapis	Odwrotna do	Dziedzina	Przeciwdziedzina
arcus sinus	$y=\operatorname{arcsin}\, x$	$x=\sin y\;$	$[-1,1]\;$	$[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$
arcus cosinus	$y=\operatorname{arccos}\, x$	$x=\cos y\;$	$[-1, 1]\;$	$[0, \pi]\;$
arcus tangens	$y=\operatorname{arctg}\,x$	$x=\operatorname{tg}\,y$	$\mathbb{R}$	$[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$
arcus cotangens	$y=\operatorname{arcctg}\,x$	$x=\operatorname{ctg}\,y$	$\mathbb{R}$	$[0, \pi]\;$
arcus secans	$y=\operatorname{arcsec}\,x$	$x=\sec y\;$	$\mathbb{R}/\{1\}$	$[0,\tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi]$
arcus cosecans	$y=\operatorname{arccsc}\,x$	$x=\csc y\;$	$\mathbb{R}/\{-1\}$	$[-\tfrac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \tfrac{\pi}{2}]$

edytuj Pochodne funkcji trygonometrycznych

Zachodzą równości^[22]:

$\sin^\prime x = \cos x = \sin\left(\tfrac \pi 2 + x\right)$

$\cos^\prime x = - \sin x = \cos\left(\tfrac \pi 2 + x\right)$

$\operatorname{tg}^\prime x = \tfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x=1+\operatorname{tg}^2 x\mbox{ dla }x\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$

$\operatorname{ctg}^\prime x = -\tfrac{1}{\sin^2 x}=-\csc^2 x=-(1+\operatorname{ctg}^2 x)\mbox{ dla }x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}$

$\sec^\prime x=\tfrac{\sin x}{\cos^2 x}=\operatorname{tg} x\sec x\mbox{ dla }x\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$

$\csc^\prime x=-\tfrac{\cos x}{\sin^2 x}=-\operatorname{ctg} x\csc x\mbox{ dla }x\ne k\pi, k\in\mathbb{Z}$

Można z nich otrzymać pochodne wyższych rzędów:

$\sin^{(n)} x = \sin\left(\tfrac {n\pi} 2 + x\right) = \begin{cases} \sin x & n = 4k \\ \cos x & n = 4k + 1 \\ -\sin x & n = 4k + 2 \\ -\cos x & n = 4k + 3\end{cases} \mbox{ dla } k \in \mathbb N$ ,

$\cos^{(n)} x = \cos\left(\tfrac {n\pi} 2 + x\right) = \begin{cases} \cos x & n = 4k \\ -\sin x & n = 4k + 1 \\ -\cos x & n = 4k + 2 \\ \sin x & n = 4k + 3\end{cases} \mbox{ dla } k \in \mathbb N$ .

edytuj Całki funkcji trygonometrycznych

Podstawowe całki to^[23]:

$\int\sin x \,{\rm d}x=-\cos x+C$

$\int\cos x \,{\rm d}x=\sin x+C$

$\int\operatorname{tg} x \,{\rm d}x=-\ln|\cos x|+C$

$\int\operatorname{ctg} x \,{\rm d}x=\ln|\sin x|+C$

$\int\sec x \,{\rm d}x=\ln|\sec x+\operatorname{tg} x|+C$

$\int\csc x \,{\rm d}x=-\ln|\csc x+\operatorname{ctg} x|+C$

Zobacz w Wikiźródłach tabelę całek funkcji trygonometrycznych

Każda całka funkcji wymiernej postaci $R(\sin x, \cos x)\;$ jest elementarna, można ją obliczyć przez podstawienie^[24]

$t = \operatorname{tg} \tfrac{x}{2}$

Wówczas:

$\operatorname{d}x=\tfrac{2\operatorname{d}t}{1+t^2}$

$\sin x=\tfrac{2t}{1+t^2}$

$\cos x=\tfrac{1-t^2}{1+t^2}$

$\operatorname{tg} x=\tfrac{2t}{1-t^2}$

$\operatorname{ctg} x=\tfrac{1-t^2}{2t}$

edytuj Własności dla argumentów zespolonych

Używając definicji analitycznych funkcji trygonometrycznych można te funkcje uogólnić m.in. na liczby zespolone.

Tak uogólnione funkcje trygonometryczne zachowują większość własności znanych z przypadku argumentów rzeczywistych. Wyjątkiem jest ograniczoność: na przykład cosinus argumentu urojonego niezerowego jest liczbą rzeczywistą zawsze większą od 1. W szczególności

$\cos i = \tfrac{1}{2}(e^{-1}+e) \approx 1,543,\; \sin i = \tfrac{1}{2i}(e^{-1}-e)\approx 1,175i$

Funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są (nieskończenie) wielokrotne na całej płaszczyźnie (sinus przyjmuje wartość $0$ w punktach postaci $x=k\pi\;$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą).

Części rzeczywiste, urojone, moduły i argumenty:

Funkcja	Część rzeczywista	Część urojona	Moduł
$\sin(x\pm iy)$	$\sin x \cosh y\;$	$\pm \cos x\sinh y\;$	$\sqrt{\sin^2 x+\sinh^2 y}$
$\cos(x\pm iy)$	$\cos x \cosh y\;$	$\mp \sin x\sinh y\;$	$\sqrt{\cos^2 x+\sinh^2 y}$
$\operatorname{tg}(x\pm iy)$	$\frac{\sin 2x}{\cos 2x+\cosh 2y}$	$\pm\frac{\sinh 2y}{\cos 2x+\cosh 2y}$	$\sqrt{\frac{\sin^2 2x+\sinh^2 2y}{(\cos 2x+\cosh 2y)^2}}$
$\operatorname{ctg}(x\pm iy)$	$-\frac{\sin 2x}{\cos 2x-\cosh 2y}$	$\pm\frac{\sinh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y}$	$\sqrt{-\frac{\cos 2x+\cosh 2y}{\cos 2x-\cosh 2y}}$

Argument $\varphi\;$ oblicza się według wzorów:

$\sin\varphi=\tfrac{\operatorname{im}\ \omega}{|\omega|}$

$\cos\varphi=\tfrac{\operatorname{re}\ \omega}{|\omega|}$ ,

gdzie $\omega\;$ to wartość odpowiedniej funkcji trygonometrycznej.

edytuj Związki z innymi funkcjami

edytuj Sinus całkowy i cosinus całkowy

Zobacz więcej w osobnym artykule: Sinus i cosinus całkowy.

Całki $\int{\frac{\sin x}{x} dx}$ i $\int{\frac{\cos x}{x} dx}$ są nieelementarne. Ich oznaczone odpowiedniki zwane są sinusem całkowym i cosinusem całkowym^[25].

edytuj Harmoniki

Zobacz więcej w osobnym artykule: Harmonika (matematyka).

Funkcje postaci

$u(t) = A \sin(\omega t + \phi)\;$ ,

gdzie:

A – amplituda
$ω$ – prędkość kątowa (pulsacja)
$φ$ – faza początkowa

są nazywane harmonikami^[26]. Mają one duże znaczenie w praktyce, przy analizie funkcji okresowych. Kombinacja liniowa kilku harmonik o tej samej częstotliwości jest ciągle harmoniką o tej samej częstotliwości.

Sinusoidalny ruch prostego oscylatora

Harmoniki stosowane są w fizyce przy badaniu wszelkich zjawisk okresowych, np. drgań. Wiele z tych zjawisk, np. masa na sprężynie, wahadło przy niewielkim wychyleniu, albo obwód rezonansowy sprowadzają się w wyidealizowanym przypadku (przy braku strat energii) do równania różniczkowego:

$x^{\prime\prime}=-kx$

którego rozwiązaniami są harmoniki.

edytuj Funkcja sinc

Zobacz więcej w osobnym artykule: Funkcja sinc.

Znormalizowana i nieznormalizowana funkcja sinc

Nieznormalizowana funkcja sinc (od łac. sinus cardinalis), znana również jako funkcja interpolująca lub pierwsza sferyczna funkcja Bessela $j 0 (x)$ .

$\operatorname{sinc}(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x}&\mbox{dla }x\ne 0 \\ 1 &\mbox{dla }x =0 \end{cases}$

Funkcja ta ma znaczenie w analizie matematycznej.

Znormalizowana funkcja sinc, oznaczana tym samym symbolem:

$\operatorname{sinc}(x) = \begin{cases} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}&\mbox{dla }x\ne 0 \\ 1 &\mbox{dla }x =0 \end{cases}$

edytuj Funkcje hiperboliczne

Zobacz więcej w osobnym artykule: Funkcje hiperboliczne.

Sinus, cosinus i tangens hiperboliczny

Jak podano w sekcji Definicja za pomocą równań funkcyjnych, funkcje sinus i cosinus można zdefiniować w następujący sposób^[7]:

$\left\{ \begin{matrix} W1\colon & s(x_1-x_2)=s(x_1)c(x_2)-c(x_1)s(x_2) \\ W2\colon & c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)+s(x_1)s(x_2) \\ W3\colon & \lim\limits_{x\to 0}\tfrac{s(x)}{x}=1 \end{matrix} \right.$

Jeśli warunek W2 zmienić na:

$\begin{matrix} W2^\prime \colon & c(x_1-x_2)=c(x_1)c(x_2)-s(x_1)s(x_2) \end{matrix}$

wówczas warunki W1, W2', W3 będą spełnione przez inne funkcje, które przez analogię nazywane są sinusem hiperbolicznym (sinh) i cosinusem hiperbolicznym (cosh)^[27]. Analogicznie jak dla funkcji trygonometrycznych definiuje się też tangens, cotangens, secans i cosecans hiperboliczny jako odpowiednie ilorazy z udziałem sinusa i cosinusa hiperbolicznego. Istnieje także całkowy sinus hiperboliczny i całkowy cosinus hiperboliczny.

Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji hiperbolicznych

Pole zakreskowanego obszaru odpowiada połowie argumentu funkcji trygonometrycznych

Także definicja na okręgu jednostkowym dla funkcji trygonometrycznych ma swój odpowiednik hiperboliczny. Zamiast okręgu jednostkowego

$x^2+y^2=1\;$

należy wziąć hiperbolę o równaniu

$x^2-y^2=1\;$

Na okręgu jednostkowym argument funkcji trygonometrycznych odpowiadał mierze kąta, jednak jest ona równa polu wycinka kołowego, symetrycznego względem osi OX. Podobnie w przypadku funkcji hiperbolicznych argumentowi odpowiada pole odpowiedniego wycinka. Biorąc długości odcinków, które na okręgu odpowiadały funkcjom sinus, cosinus i tangens, uzyskuje się na hiperboli sinus, cosinus i tangens hiperboliczny^[28].

Istnieją też inne analogie. Dla funkcji trygonometrycznych zachodzą równości (tzw. Wzory Eulera):

$\sin x = \tfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

$\cos x = \tfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$

$\operatorname{tg} x = \tfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{ (e^{ix} + e^{-ix})i}$

$\operatorname{ctg} x = \tfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{e^{ix} - e^{-ix}}i$

Dla porównania definicje funkcji hiperbolicznych:

$\sinh x = \tfrac{e^{x} - e^{-x}}{2}$

$\cosh x = \tfrac{e^{x} + e^{-x}}{2}$

$\operatorname{tgh} x = \tfrac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$

$\operatorname{ctgh} x = \tfrac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}$

Podobieństwa te wynikają z głębokiej symetrii pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi a hiperbolicznymi, przejawiającej się także po ich uogólnieniu na argumenty zespolone.

edytuj Zastosowania

edytuj Geometria

Bezpośrednim zastosowaniem funkcji trygonometrycznych w geometrii elementarnej jest wyznaczanie długości boków lub kątów trójkąta. Poniżej podano kilka innych zastosowań.

edytuj Twierdzenia sinusów, cosinusów i tangensów

Zobacz więcej w osobnych artykułach: Twierdzenie sinusów, Twierdzenie cosinusów, Twierdzenie tangensów.

Graficzny dowód twierdzenia cosinusów dla kątów ostrych. Obydwie figury mają tę samą powierzchnię.

Przyjmując standardowe oznaczenia, w każdym trójkącie zachodzą następujące równości:
Twierdzenie sinusów, inaczej twierdzenie Snelliusa^[29]:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$

Twierdzenie cosinusów, inaczej twierdzenie Carnota^[30]:

$c^2=a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\;$

Twierdzenie tangensów, inaczej twierdzenie Regiomontana^[30]:

${a-b \over a+b} = \frac{\operatorname{tg}{\alpha - \beta \over 2}}{\operatorname{tg}{\alpha + \beta \over 2}}$

W geometrii sferycznej istnieje także twierdzenie haversinów, związane z nieużywaną dziś funkcją trygonometryczną $\operatorname{haversin}\ x = 1-\cos \tfrac{x}{2}$ , pozwalające na obliczanie odległości pomiędzy dwoma punktami na sferze