Funkcjonał dwuliniowy.html
 
| ca | de | en | es | fr | it | nl | no | pl | pt | ru | ro | fi | sv | tr | vo |


 

Spis treści

Funkcjonał dwuliniowy (forma dwuliniowa) – w algebrze dwuliniowej dwuargumentowy funkcjonał liniowy ze względu na każdą zmienną, znalazł także zastosowanie w rachunku wariacyjnym i analizie funkcjonalnej.

edytuj Definicja

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Funkcjonałem dwuliniowym (formą dwuliniową) określonym na V nazywamy takie odwzorowanie B\colon V \times V \to K, że dla każdego x, y, z \in V oraz c \in K zachodzi:

1) B(x + y, z) = B(x, z) + B(y, z),\; B(cx, y) = cB(x, y),
2) B(x,y + z) = B(x, y) + B(x, z),\; B(x, cy) = cB(x, y).

Jeśli ponadto

3) B(x,y) = B(y,x),

to B nazywamy funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym (formą dwuliniową symetryczną).

Jeżeli

3') B(x,y) = − B(y,x),

to B nazywamy funkcjonałem dwuliniowym antysymetrycznym (formą dwuliniową antysymetryczną).

Jeśli ponadto

4) B(x,x) = 0,

to B nazywamy funkcjonałem dwuliniowym alternującym (formą dwuliniową alternującą).

edytuj Przykłady

  • Funkcjonał zerowy: Z\colon V \times V \to K,\; Z(x, y) = 0,\quad x, y \in V.
  • Zwykły iloczyn skalarny \langle\cdot, \cdot\rangle\colon \mathbb R^n \times \mathbb R^n \to \mathbb R.
  • Ustalmy A \in K_n^n i rozważmy M\colon V \times V \to K określony M(\textbf x, \textbf y) = \textbf x^TA \textbf y, \quad \textbf x, \textbf y \in K^n.
  • I\colon C[a,b] \times C[a,b] \to \mathbb R określony I(f, g) = \int\limits_a^b~f(x)g(x)dx,\quad f, g \in C[a,b].

edytuj Macierz

edytuj Definicja

Niech \dim V=n oraz \mathcal A = (x_1, \ldots, x_n) będzie bazą V. Macierz \mathrm B = [b_{ij}] \in K^n_n, b_{ij} = B(x_i, x_j),\; i, j \in \{1, \ldots, n\} nazywamy macierzą funkcjonalu dwuliniowego B w bazie \mathcal A.

edytuj Twierdzenie

Jeśli B jest macierzą dwuliniowego funkcjonału B w bazie \mathcal A i ponadto A = PTBP, gdzie \mathrm P \in \operatorname{GL}(n, K). Wówczas A jest macierzą B w pewnej bazie, gdzie \operatorname{GL}(n, K) oznacza pełną grupę liniową.

edytuj Rząd

Rozważamy tylko przestrzenie skończeniewymiarowe.

edytuj Definicja

Niech \mathrm B \in K_n^n macierzą funkcjonału dwuliniowego B w pewnej bazie. Wówczas rząd macierzy B nazywamy rzędem funkcjonału dwuliniowego B i oznaczamy go podobnie przez \operatorname{rk}\;B, \operatorname{rz}\;B lub r(B).

edytuj Poprawność definicji

  • Rząd funkcjonału nie zależy od wyboru bazy przestrzeni.
  • Funkcjonał dwuliniowy nazywamy nieosobliwym, gdy macierz B jest nieosobliwa.
  • Funkcjonał dwuliniowy nazywamy symetrycznym, gdy macierz B jest symetryczna.
  • Funkcjonał dwuliniowy nazywamy niezdegenerowanym gdy macierz B jest symetryczna i nieosobliwa. Jest to równoważne z warunkiem, że \forall_{0\neq x\in V}\exists_{y\in V} B(x, y)\neq 0 oraz B jest symetryczny.

edytuj Twierdzenie o postaci analitycznej

Niech V będzie przestrzenią liniową n-wymiarową nad ciałem K oraz B\colon V\times V\to K będzie funkcjonałem dwuliniowym, zaś \mathrm B = [b_{ij}] \in K^n_n macierzą B w bazie (x_1, \ldots, x_n) przestrzeni V.

Jeśli x, y \in V oraz

x = \sum_{i=1}^n~a_i x_i,\; y = \sum_{j=1}^n~c_j x_j,

dla pewnych a_1,\ldots, a_n, c_1, \ldots, c_n\in K, to

B(x, y) = \begin{bmatrix}a_1 & \ldots & a_n\end{bmatrix} \cdot \mathrm B \cdot \begin{bmatrix}c_1\\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}.

edytuj Dowód

\begin{array}{lcl}B(x, y)& = &B\left(\sum_{i=1}^n~a_i x_i, \sum_{j=1}^n~c_j x_j\right) \\ & =& \sum_{i=1}^n~a_i B\left(x_i, \sum_{j=1}^n~c_j x_j\right) \\ &= & \sum_{i=1}^n~a_i \left(\sum_{j=1}^n~c_j B(x_i, x_j)\right)\\ & = &\sum_{i=1}^n~\sum_{j=1}^n a_i b_{ij} c_j\end{array}

edytuj Określoność

Zobacz więcej w osobnym artykule: macierz dodatnio określona.

edytuj Zobacz też
All Right Reserved © 2007, Designed by Stylish Blog.