Funkcjonał liniowy.html

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Przestrzeń funkcjonałów
4 Zobacz też
5 Przypisy

Funkcjonał liniowy (forma liniowa) – funkcjonał określony na przestrzeni liniowej, czyli przekształcenie liniowe z przestrzeni liniowej nad pewnym ciałem o wartościach w tym ciele.

edytuj Definicja

Niech $K$ będzie ciałem, zaś $V$ jest przestrzenią liniową nad $K$ . Funkcję $f\colon V \to K$ nazywa się funkcjonałem liniowym (formą, funkcją liniową)^[1], jeśli jest ona jednorodna i addytywna, czyli dla każdego $x, y \in V$ oraz $\alpha \in K$ zachodzi:

$f (α x) = α f (x)$ ,
$f (x + y) = f (x) + f (y)$ .

Równoważnie $f$ musi spełniać warunek $f (α x + β y) = α f (x) + β f (y)$ dla każdego $x, y \in V$ i $\alpha, \beta \in K$ .

edytuj Przykłady

$f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R$ dane wzorem : $f\left(\left[\begin{smallmatrix}x\\y\\z\\\end{smallmatrix}\right]\right) = x + 2y + 3z$ .
$I\colon C[a,b] \to \mathbb R$ dane wzorem $I(f) = \int\limits_a^b~f(x)dx$ .

edytuj Przestrzeń funkcjonałów

Zobacz więcej w osobnym artykule: przestrzeń sprzężona.

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$ oraz $\mathcal A=(x_t)_{t\in T}$ będzie jej bazą. Możemy wówczas rozważać przestrzeń $V^\star$ zwaną przestrzenią sprzężoną z $V$ , czyli przestrzeń funkcjonałów liniowych z $V$ do $K$ .

Przestrzeń $V^\star$ możemy utożsamiać z przestrzenią $\operatorname{Hom}(V, K)$ , gdzie ciało $K$ traktujemy jako przestrzeń liniową nad samym sobą. Jeśli $\dim V<\infty$ , to mówimy, że $V^\star$ ma bazę sprzężoną z $\mathcal A$ postaci $\mathcal A^\star = (x^\star_t)_{t \in T}$ , gdzie

$x^\star_i(x_t) = \begin{cases} 1, & i=t, \\ 0, & i \ne t\end{cases},\; x_t \in \mathcal A$

Jeśli wymiar $V$ jest skończony, to między przestrzenią funkcjonałów liniowych a przestrzenią macierzy o odpowiednim wymiarze istnieje izomorfizm.

Funkcjonał $f\in V^\star$ nazywamy ograniczonym, jeśli $\|f\|_{V^\star}<\infty$ .

edytuj Zobacz też

Przypisy

↑ za A. Birkholc, „Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych”, PWN, Warszawa 1986