Geometria euklidesowa.html

Szkoła Euklidesa w Atenach
(Obraz Raffaello Sanzio, 1509)

Strona z dzieła Elementy

Geometria euklidesowa to klasyczna odmiana geometrii, w której spełniony jest tzw. postulat równoległości. Nazwa pochodzi od Euklidesa, który w swoim dziele Elementy z III w. p.n.e. podał jej aksjomaty. Była to tym samym pierwsza teoria aksjomatyczna w dziejach ludzkości.

Pierwotnie geometria euklidesowa była badana tylko na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowiej. Przez długi czas geometrię wiązano z istniejącym fizycznym światem, który miała opisywać, nie dopuszczano tym samym możliwości badania innych odmian geometrii. Dopiero w XIX wieku opracowano teorie geometrii nieeuklidesowych, stworzono też podstawy do opisu geometrycznego w wymiarach wyższych niż trzeci.

edytuj Systemy aksjomatyczne

W tradycyjnym ujęciu geometria euklidesowa przedstawiana jest jako system aksjomatyczny, w którym wszystkie twierdzenia muszą wynikać z ograniczonej liczby zdań przyjmowanych jako prawdziwe (aksjomatów).

W systemie podanym przez Euklidesa obok pięciu ogólnych stwierdzeń (nazwanych aksjomatami) dotyczących podstaw logicznych budowanej teorii, wyróżnionych zostało też pięć tzw. postulatów:

Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem .
Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie.
Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w dowolnym punkcie i promieniu równym odcinkowi.
Wszystkie kąty proste są równe.
Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony, jeśli się je odpowiednio przedłuży.

Piąty z postulatów, tzw. postulat równoległości, można też (dla geometrii dwuwymiarowej) sformułować następująco: „przez punkt nieleżący na danej prostej można poprowadzić najwyżej jedną prostą rozłączną z daną prostą”. Nieoczywistość piątego postulatu prowadziła do licznych prób wyprowadzenia go z pozostałych czterech postulatów. W XIX w. udowodniono jednak, że jest to niemożliwe, gdyż postulat równoległości jest niezależny od pozostałych, a zastąpienie go przez stwierdzenie przeciwne doprowadziło do powstania teorii geometrii hiperbolicznej, a później też innych geometrii nieeuklidesowych.

W drugiej połowie XIX w. zauważono, że aksjomaty podane przez Euklidesa nie są wystarczające do udowodnienia prawdziwości lub fałszywości wszystkich zdań, które można wyrazić w języku tej teorii (tzn. system ten nie był zupełny). W 1882 r. niemiecki matematyk Moritz Pasch podał przykład takiego niedającego się udowodnić twierdzenia i włączył je do systemu jako kolejny aksjomat (tzw. aksjomat Pascha).

Kolejne rewizje systemu geometrii euklidesowej zostały uwieńczone w 1899 r. przez Davida Hilberta, który podał kompletny zestaw aksjomatów teorii udowadniając jednocześnie niesprzeczność tego systemu. Aksjomatyka Hilberta jest dziś podstawą większości aksjomatycznych ujęć geometrii euklidesowej.

Powstały również inne systemy geometrii euklidesowej, z których najbardziej znane to aksjomatyka Birkhoffa i aksjomatyka Tarskiego. System stworzony przez Alfreda Tarskiego miał na celu wykazanie rozstrzygalności geometrii euklidesowej; rozstrzygalność tego modelu została udowodniona przez Wandę Szmielew.

edytuj Podejście współczesne

Geometria euklidesowa obecnie jest częściej wprowadzana nie przez aksjomaty, lecz jako przestrzeń kartezjańska, model przestrzeni euklidesowej, w którym wykorzystując środki geometrii analitycznej można aksjomaty Euklidesa dowodzić jako twierdzenia.

Figurę płaską definiuje się jako zbiór punktów, czyli zbiór uporządkowanych par liczb rzeczywistych $(x, y)$ . Dla danych dwóch punktów A i B o współrzędnych $A = (x 1, y 1)$ i $B = (x 2, y 2)$ można określić odległość między nimi (metrykę euklidesową) zdefiniowaną wzorem

$\overline {AB} = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

Zbiór $\mathbb R^2$ z powyższą metryką staje się euklidesową przestrzenią metryczną oznaczaną często $\mathbb E^2$ (w której można określić kolejne operacje i struktury, zob. przestrzeń euklidesowa). Wszystkie inne pojęcia geometrii, takie jak prosta, kąt, okrąg, mogą być wyrażone przy pomocy zdefiniowanych wcześniej pojęć punktu i odległości.

Geometria euklidesowa.html

edytuj Systemy aksjomatyczne

edytuj Podejście współczesne

edytuj Zobacz też