Przestrzeń Hilberta.html

Przestrzeń Hilberta - rzeczywista lub zespolona przestrzeń liniowa z określonym iloczynem skalarnym (inaczej przestrzeń unitarna) dla której norma^[1] wyznaczona przez iloczyn skalarny jest zupełna. Każda przestrzeń Hilberta jest więc, w szczególności, przestrzenią Banacha. Geometria przestrzeni Hilberta zdecydowanie jednak odróżnia się od geometrii pozostałych przestrzeni Banacha - dla przykładu twierdzenie o zbiorze wypukłym zachodzi wyłącznie w przestrzeniach Hilberta.

Przestrzenie Hilberta są podstawowym pojęciem analizy funkcjonalnej. Do matematyki wprowadził je David Hilbert pod koniec XIX w.. Przestrzenie Hilberta są także podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, między innymi w mechanice kwantowej.

W niniejszym artykule będziemy stosować następującą notację: jeśli $X$ jest przestrzenią Hilberta, to symbolem $(x | y) X$ będziemy oznaczać iloczyn skalarny elementów $x, y$ tej przestrzeni - lub krótko $(x | y)$ , jeśli nie będzie prowadzić to do nieporozumień.

Spis treści

1 Przykłady przestrzeni Hilberta
- 1.1 Przestrzenie euklidesowe
- 1.2 Przestrzenie funkcyjne
2 Ciągłe funkcjonały liniowe na przestrzeni Hilberta
3 Ośrodkowe przestrzenie Hilberta
4 Refleksywność
5 Bibliografia
6 Przypisy
7 Zobacz też

edytuj Przykłady przestrzeni Hilberta

edytuj Przestrzenie euklidesowe

Najprostszym przykładem przestrzeni Hilberta jest zbiór liczb rzeczywistych z mnożeniem jako iloczynem skalarnym. Zbiór wektorów na płaszczyźnie ze "zwykłym" iloczynem skalarnym jest również przestrzenią Hilberta - ogólniej, dla każdej liczby naturalnej $N$ przestrzenie $\mathbb{R}^N$ i $\mathbb{C}^N$ są przestrzeniami Hilberta z iloczynem skalarnym danym wzorem

$(x|y)=\sum_{j=1}^Nx_j \overline{y_j}$ ,

gdzie $x=(x_1, \ldots, x_N), y=(y_1, \ldots, y_N)\in \mathbb{R}^N (\mathbb{C}^N)$ . W przypadku przestrzeni $\mathbb{R}^N$ symbol $\overline{\cdot}$ sprzężenia zespolonego możemy pominąć. Okazuje się, że jakkolwiek by nie zadać iloczynu skalarnego w dowolnej rzeczywistej bądź zespolonej skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej, to przestrzeń ta okaże się przestrzenią Hilberta.^[2]

edytuj Przestrzenie funkcyjne

przestrzenie l² i L² - szczególnie ważna z punktu widzenia zastosowań (zob. analiza harmoniczna) jest przestrzeń L²(-π,π),
przestrzeń Sobolewa W^k,2,
przestrzenie Hardy'ego,

Iloczyn kartezjański $H_1\times H_2$ przestrzeni Hilberta $H 1, H 2$ jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym $((x_1, x_2)|(y_1, y_2))_{H_1\times H_2}=(x_1|x_2)_{H_1}+(y_1|y_2)_{H_2}$ , gdzie $x_1, x_2\in H_1,\, y_1, y_2\in H_2$ .

edytuj Ciągłe funkcjonały liniowe na przestrzeni Hilberta

Zobacz też: twierdzenie Riesza.

Jeśli $X$ jest przestrzenią Hilberta, to jej przestrzeń sprzężona $X *$ (czyli przestrzeń wszystkich liniowych i ciągłych funkcjonałów na przestrzeni $X$ ) jest z nią antyliniowo izometrycznie izomorficzna - dokładniej każdemu elementowi $x^*\in X^*$ odpowiada dokładnie jeden element $a\in X$ taki, że

$x^*x=(x|a)\,$ dla wszystkich $x\in X$ .

Odwzorowanie $\Phi\colon X\to X^*$ dane wzorem

$\Phi(x)=\phi_x\,$ ,

gdzie dla ustalonego $x\in X$ - $\phi_x(y)=(y|x)\,$ , jest szukanym izomorfizmem. Jest to tzw. twierdzenie Riesza, które można uznać za wniosek z twierdzenia o rzucie ortogonalnym. Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne - jeśli w przestrzeni unitarnej $Y$ każdy funkcjonał $y^*\in Y^*$ daje się wyrazić wzorem

$y^*y=(y|b)\,$ dla pewnego $b\in Y$ ,

to przestrzeń ta jest przestrzenią Hilberta.

edytuj Ośrodkowe przestrzenie Hilberta

Przestrzenie Hilberta dzieli się na

ośrodkowe, czyli takie, które zawierają przeliczalny podzbiór gęsty,
nieośrodkowe.

Własności przestrzeni Hilberta różnią się znacznie dla tych dwóch przypadków.

$N$ -wymiarowe rzeczywiste (zespolone) przestrzenie unormowane są liniowo homeomorficzne z przestrzenią $\mathbb{R}^N$ ( $\mathbb{C}^N$ ), a więc da się w nich wprowadzić iloczyn skalarny (zob. twierdzenie Jordana-von Neumanna) ponadto są one zupełne i ośrodkowe, a więc są ośrodkowymi przestrzeniami Hilberta. Jeśli $X$ jest ośrodkową przestrzenią Hilberta nieskończenie wymiarową, to istnieje taka liniowa bijekcja $\Lambda\colon X\to \ell^2$ , że

$(\Lambda x|\Lambda y)_{\ell^2}=(x|y)_X$ dla $x,y\in X$ .

Odwzorowanie $Λ$ dane jest wzorem

$\Lambda x=((x|e_n))_{n\in\mathbb{N}}$ ,

dla $x\in X$ , gdzie $\{e_n\colon\, n\in\mathbb{N}\}$ jest układem ortonormalnym i zupełnym w przestrzeni $X$ . Określenie to jest poprawne na podstawie nierówności Bessela.

Innymi słowy, istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) nieskończenie wymiarowa, ośrodkowa przestrzeń Hilberta.

edytuj Refleksywność

Przypomnijmy, że przestrzeń $X$ jest nazywana refleksywną wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie $\kappa\colon X\to X^{**}$ dane wzorem

$\kappa(x)x^*=x^*x\,$ dla $x\in X$ oraz $x^*\in X^*$

jest izomorfizmem. Przestrzenie Hilberta są refleksywne - jest to konsekwencja twierdzenia Riesza (o reprezentacji ciągłych funkcjonałów na przestrzeni Hilberta). Jeśli $X$ jest przestrzenią Hilberta, to na mocy tego twierdzenia istnieje antyliniowy izometryczny izomorfizm $\Lambda \colon X^*\to X$ . Jeśli $x_0^{**}$ jest ustalonym elementem przestrzeni $X * *$ , to funkcjonał $x_0^*$ dany wzorem

$x_0^*x=\overline{x_0^{**}(\Lambda^{-1}(x))}$ dla $x\in X$

jest liniowy i ciągły oraz dla $x\in X$ :

$\kappa(\Lambda x_0^*)x^*=x^*\Lambda x_0^*=(\Lambda x_0^*|\Lambda x^*)=\overline{(\Lambda x^*|\Lambda x_0^*)}=\overline{x_0^*\Lambda x^*}=\overline{x_0^{**}(\Lambda^{-1}(\Lambda x^*))}=x_0^{**}x^*$

dla $x^*\in X^*$ , a zatem $\kappa(\Lambda x_0^*)=x_0^{**}$ , co oznacza, że odwzorowanie $κ$ jest "na".

edytuj Bibliografia

Krzysztof Maurin, Metody przestrzeni Hilberta, PWN, Warszawa 1959
Paul Halmos, Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity, Chelsea Pub. Co 1957

Przypisy

↑ Przypomnijmy, że jeżeli $\scriptstyle{X}$ jest przestrzenią unitarną, to jest również przestrzenią unormowaną, w której norma wyraża się wzorem $\scriptstyle{\|x\|=\sqrt{(x|x)},\, x\in X}$ .
↑ W przestrzeniach skończenie wymiarowych wszystkie normy są równoważne, a więc i w konsekencji zupełne, gdyż każda przestrzeń skończenie wymiarowa jest liniowo homeomorficzna z przestrzenią $\scriptstyle{\mathbb{R}^N}$ dla pewnego $\scriptstyle{N}$ naturalnego. Przestrzeń liniowo homeomorficzna z przestrzenią zupełną jest zupełna.