Przestrzeń unormowana.html

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Uwagi
2 Metryka
3 Przestrzenie unitarne
4 Przykłady
5 Normy macierzowe
- 5.1 Norma Frobeniusa
- 5.2 Norma spektralna
6 Unormowane grupy abelowe
- 6.1 Norma grupy abelowej
7 Zobacz też

Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określone jest pojęcie długości – normy – wektora. Pojęcie przestrzeni unormowanej jest jednym z naturalnych uogólnień pojęcia przestrzeni euklidesowej.

edytuj Definicja

Normą w przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $K \in \{\mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C\}$ nazywamy odwzorowanie $\|\cdot\|\colon V \to [0, \infty)$ spełniające, dla dowolnych $\alpha \in K$ oraz $u, v \in V$ , następujące warunki dodatniej określoności, dodatniej jednorodności i nierówności trójkąta/podaddytywności:

$\|v\| = 0 \Rightarrow v = 0$ ,
$\|\alpha v\| = |\alpha| \|v\|$ ,
$\|u + v\| \leqslant \|u\| + \|v\|$ .

Parę $(V, \|\cdot\|)$ nazywamy wówczas przestrzenią unormowaną.

edytuj Uwagi

Należy zauważyć, że każde odwzorowanie spełniające warunki drugi i trzeci spełnia również warunek

$v = 0 \Rightarrow \|v\| = 0$ , co można zapisać skrótowo, iż $\|0\| = 0$ .

Z tego powodu wielu autorów pierwszy aksjomat zapisuje w postaci

$\|v\| = 0 \iff v = 0$ .

Funkcje spełniające dwa ostatnie warunki definicji nazywane są półnormami (albo seminormami) i odgrywają zasadniczą rolę w analizie funkcjonalnej, w teorii przestrzeni lokalnie wypukłych.

edytuj Metryka

Jeśli $(X, \|\cdot\|)$ jest przestrzenią unormowaną, to można w niej zdefiniować metrykę $d$ jako:

$d(x,y) = \|x-y\|$

dla dowolnych $x, y \in X$ . Metrykę tę nazywamy generowaną albo indukowaną przez normę przestrzeni $X$ .

Mówimy, że normy przestrzeni $X$ są równoważne, jeśli metryki przez nie generowane są równoważne. Innymi słowy normy są równoważne, jeśli topologie wyznaczone przez metryki generowane przez normy pokrywają się.

Okazuje się, że przestrzeni skończeniewymiarowej wszystkie normy są równoważne. Co więcej, każda skończeniewymiarowa przestrzeń unormowana jest zupełna (w topologii normy), jest zatem przestrzenią Banacha.

Każdą przestrzeń unormowaną można zanurzyć jako gęstą podprzestrzeń w pewną minimalną przestrzeń Banacha, którą nazywamy uzupełnieniem danej przestrzeni unormowanej.

edytuj Przestrzenie unitarne

Jeśli $X$ jest przestrzenią unitarną z iloczynem skalarnym oznaczonym jako $\langle\cdot, \cdot\rangle$ , to można w niej zdefiniować normę wektora $x$ jako:

$\|x\| := \sqrt{\langle x, x \rangle}.$

Normę taką określamy mianem generowanej bądź indukowanej przez iloczyn skalarny. Dla normy takiej spełniona jest tożsamość równoległoboku:

$2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 = \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2.$

Jeżeli w przestrzeni nie jest spełniona tożsamość równoległoboku, to przestrzeń nie jest unitarna.

Jeżeli w przestrzeni unormowanej spełniona jest tożsamość równoległoboku, to następujący wzór polaryzacyjny zadaje iloczyn skalarny:

$\langle x, y\rangle = \frac{1}{4}(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 + i\|x + iy\|^2 - i\|x - iy\|^2).$

edytuj Przykłady

W przestrzeni euklidesowej $\mathbb R^n$ norma euklidesowa zdefiniowana jest jako

$\|[x_1, x_2, \ldots, x_n]\|_2 = \sqrt{|x_1|^2 + |x_2|^2 + \ldots + |x_n|^2}$ .
W $\mathbb R^n$ normę pierwszą definiuje się wzorem

$\|[x_1, x_2, \ldots, x_n]\|_1 = |x_1| + |x_2| + \ldots + |x_n|$ .
Inną normą w $\mathbb R^n$ jest

$\|[x_1, x_2, \ldots, x_n]\|_{\infty} = \max_{1 \leqslant i \leqslant n}(|x_i|)$ .
Pierwsze dwie normy są przykładami tzw. p-tej normy $(p \geqslant 1)$ danej w $\mathbb R^n$ wzorem

$\|[x_1, x_2, \ldots, x_n]\|_p = \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \ldots + |x_n|^p}$ .

Trzecia jest zgodna z normą p-tą dla $p \to \infty$ , dlatego używany symbol nieskończoności ma uzasadnienie.

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta. Wówczas normę w przestrzeni sprzężonej $H^\star$ określa się jako

$\|y^\star\| = \sup\{\|y^\star(x)\|\colon x \in H, \|x\| = 1\}$

Niech $C [0,1]$ będzie przestrzeń funkcji ciągłych na przedziale $[0,1]$ . Normę można zdefiniować jako:

$\|f(x)\|_{C[0,1]} = \max_{x \in [0,1]}|f(x)|$

edytuj Normy macierzowe

Normą macierzową nazywamy normę przestrzeni $\mathbb R^n_n$ lub $\mathbb C^n_n$ , spełniającą dodatkowo warunek

$\|AB\| \leqslant \|A\| \|B\|$

dla wszelkich macierzy $A, B \in \mathbb R^n_n$ ( $\mathbb C^n_n$ ). Przestrzeń macierzy z normą macierzową jest algebrą Banacha. Poniżej $A^\star = \overline A^T$ oznacza sprzężenie hermitowskie macierzy, czyli transpozycję jej trywialnego sprzężenia.

Prostymi przykładami norm macierzowych są:

$\|A\|_1 = \max_j \sum_i |a_{ij}|$ , będąca uogólnieniem pierwszej normy wektorowej

$\|A\|_{\infty} = \max_i \sum_j |a_{ij}|$ , która uogólnia normę "nieskończoność"

edytuj Norma Frobeniusa

Bezpośrednie uogólnienie normy euklidesowej. Norma Frobeniusa definiowana jest wg wzoru

$\|A\|_F = \sqrt{\langle A, A\rangle} = \sqrt{\operatorname{tr}(A^\star A)} = \sqrt{\sum |a_{ij}|^2}$ ,

gdzie $\operatorname{tr}(A)$ jest śladem macierzy $A$ , a sumowanie przebiega po wszystkich kombinacjach $i, j$ .

Nazwa pochodzi od nazwiska Ferdinanda Georga Frobeniusa, matematyka niemieckiego. Norma ta jest bezpośrednim uogólnieniem normy euklidesowej wektorów, czyli macierzy jednokolumnowych. Zobacz też: iloczyn Frobeniusa

edytuj Norma spektralna

Normę

$\|A\|_\operatorname{sp} = \sqrt{\max\{\lambda\colon \lambda \in \operatorname{sp}(A^\star A)\}}$ ,

gdzie $\operatorname{sp}(A)$ jest widmem (spektrum) macierzy $A$ , nazywamy normą spektralną.

Własności:

$\|A \|_\operatorname{sp} \geqslant \varrho(A)$ , gdzie $\varrho(A)$ jest promieniem spektralnym $A$ .
$\lim_{r \to \infty}~\sqrt[r]{\|A^r\|_\operatorname{sp}} = \varrho(A)$ .

edytuj Unormowane grupy abelowe

Pojęcie normy można przenieść na grunt teorii grup abelowych. Oczywiście, odmienność struktury przestrzeni liniowej oraz grupy abelowej wymaga modyfikacji drugiego aksjomatu normy. Jednak obydwa odwzorowania – normy przestrzeni liniowej i normy grupy abelowej – mają wiele korespondujących ze sobą własności i dlatego są ciekawe z punktu widzenia matematyków.