Przestrzeń zupełna.html



Przestrzeń zupełna – przestrzeń metryczna, w której każdy ciąg Cauchy'ego ma granicę należącą do tej przestrzeni^[1].

edytuj Przykłady

• prosta euklidesowa jest przestrzenią zupełną,
• przedział otwarty (0,1) z metryką euklidesową nie jest przestrzenią zupełną:

ciąg jest w niej bowiem ciągiem Cauchy'ego, natomiast jego granica (równa zeru) do niej nie należy.

Powyższy przykład ukazuje również, iż zupełność nie jest niezmiennikiem topologicznym, ponieważ prosta i przedział (0,1) są homeomorficzne.

edytuj Związek zupełności ze zwartością

Zobacz więcej w osobnym artykule: twierdzenie Arzeli.

Przestrzeń metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełna i całkowicie ograniczona.

edytuj Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• przestrzeń topologiczna,
• przestrzeń metryczna,
• ciąg Cauchy'ego,
• twierdzenie Banacha o punkcie stałym,
• twierdzenie Baire'a,
• homeomorfizm.

Przypisy