Równoległość.html

Ten artykuł wymaga uzupełnienia źródeł podanych informacji.
Aby uczynić go weryfikowalnym, należy podać przypisy do materiałów opublikowanych w wiarygodnych źródłach.

Równoległość – w geometrii relacja między obiektami takimi jak proste, płaszczyzny^[1], wektory, odcinki, półproste, kierunki.

Spis treści

1 Aksjomaty
2 Geometria euklidesowa
- 2.1 Własności
- 2.2 Geometria analityczna
3 Geometrie nieeuklidesowe
4 Przypisy
5 Zobacz też

edytuj Aksjomaty

Aksjomat Euklidesa: Jeżeli prosta (transwersalna) $t$ przecina proste $a, b$ tak, że kąty sobie odpowiadające są sobie równe, to proste $a, b$ są równoległe, co oznacza się $a \parallel b$ . Proste $c, d$ , które nie są do siebie równoległe, opisuje się symbolem $a \nparallel b$ .

Szkocki matematyk John Playfair określił następujący aksjomat:

Aksjomat Playfaira: Przez dowolny punkt można przeprowadzić prostą równoległą do zadanej prostej.

edytuj Geometria euklidesowa

Zobacz więcej w osobnym artykule: postulat Euklidesa.

Geometrie euklidesowe to geometrie wykorzystujące aksjomat Euklidesa. Dwie proste na płaszczyźnie są równoległe, jeżeli nie przecinają się w żadnym punkcie lub mają ich nieskończenie wiele (pokrywają się).

Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej są równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej są do siebie równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub prosta leży na tej płaszczyźnie.

Analogicznie można definiować równoległość dla obiektów mających więcej wymiarów.

edytuj Własności

Ponieważ równoległość jest relacją równoważności, a więc jest

zwrotna: $a \parallel a$ ,

symetryczna: $a \parallel b$ pociąga $b \parallel a$ ,

przechodnia: $a \parallel b$ oraz $b \parallel c$ , to $a \parallel c$ ,

edytuj Geometria analityczna

Proste równoległe zadane równaniem w postaci kierunkowej, mają równe współczynniki kierunkowe.

Dwie proste w przestrzeni kartezjańskiej są interpretacją graficzną układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Proste równoległe odpowiadają układowi sprzecznemu (brak punktów wspólnych) lub zawsze spełnionemu (proste pokrywające się). Stąd dwie proste zadane równaniami ogólnymi

$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases}$ ,

nie przecinają się lub mają przecinają się nieskończenie wielu punktach, jeżeli wyznacznik (macierzy głównej) tego układu jest równy zeru:

$\begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix} = 0 \iff A_1B_2 = A_2B_1$ .

edytuj Geometrie nieeuklidesowe

Ta sekcja jest zalążkiem. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

W geometrii rzutowej każde dwie proste mają co najmniej jeden punkt przecięcia. Te o których geometria euklidesowa mówi, iż są równoległe (mają wspólny kierunek), w tej geometrii przecinają się w tzw. punkcie w nieskończoności.

Przypisy

↑ Ogólniej podprzestrzenie co najwyżej n-1-wymiarowe zanurzone w przestrzeni n-wymiarowej

edytuj Zobacz też

prostopadłość