Rozbicie zbioru.html

Podział zbioru na sześć części.

Podział (rozbicie, partycja) zbioru – podzielenie zbioru na niepuste i rozłączne podzbiory, które w sumie dają cały zbiór.

Spis treści

1 Definicja
2 Liczba podziałów
3 Przykłady
4 Zobacz też

edytuj Definicja

Niech $H$ będzie dowolnym zbiorem. Podziałem (rozbiciem, partycją) zbioru $H$ nazywa się rodzinę niepustych, parami rozłącznych podzbiorów zbioru $H$ takich, że ich suma jest równa zbiorowi $H$ . Tak więc rodzina indeksowana $\mathcal H = \{H_i\colon i\in I\}$ jest partycją zbioru $H$ , jeśli są spełnione następujące warunki:

$\forall_{i\in I}\; H_i \ne \varnothing$
$\forall_{i, j \in I}\; \forall_{i \ne j}\; H_i \cap H_j = \varnothing$ ,
$\bigcup_{i \in I} H_i = H$ .

O rodzinie $\mathcal H$ mówi się, że jest podziałem na $| I |$ podzbiorów.

edytuj Liczba podziałów

Dla skończonego $n$ -elementowego zbioru istnieje $B n$ możliwych podziałów, gdzie $B n$ jest liczbą Bella. Dla nieskończonego zbioru przeliczalnego istnieje $2^{\aleph_0}$ jego różnych podziałów. (Przypomnijmy, że $2^{\aleph_0}$ , zwane też continuum, jest mocą zbioru wszystkich liczb rzeczywistych.)

edytuj Przykłady

Rodzina $\left\{\{1\},\{2\}\right\}$ jest podziałem zbioru ${1,2}$ .
Wszystkimi podziałami zbioru {a,b,c} są:
- $\left\{\{a, b, c\}\right\}$ ,
- $\left\{\{a\}, \{b, c\}\right\}$ ,
- $\left\{\{a, b\}, \{c\}\right\}$ ,
- $\left\{\{a, c\}, \{b\}\right\}$ ,
- $\left\{\{a\}, \{b\}, \{c\}\right\}$ .

Każdy podział zbioru wyznacza pewną relację równoważności, której klasami abstrakcji są elementy (zbiory) tego podziału. Podobnie każda relacja równoważności wprowadza pewien podział zbioru.

Rozbicie zbioru.html

Spis treści

edytuj Definicja

edytuj Liczba podziałów

edytuj Przykłady

edytuj Zobacz też