Struktura algebraiczna.html



Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

edytuj Definicja

Algebrą ogólną nazywamy strukturę matematyczną, opisaną krotką , gdzie:

• A oznacza dowolny zbiór nazwany nośnikiem lub uniwersum oraz
• będące działaniami (operacjami) określonymi na powyższym zbiorze oraz .

Powyższa definicja określa algebry o skończonej liczbie działań, często rozważa się także algebry o nieskończenie wielu działaniach (najczęściej wprowadzanych indukcyjnie).

edytuj Działania i typ

Zobacz więcej w osobnym artykule: działanie algebraiczne.

Przez działanie określone na zbiorze A rozumie się dowolną funkcję przekształcającą pewną potęgę kartezjańską (wieloczłonowy iloczyn) zbioru A w zbiór A:

, gdzie dla .

Liczby α_i nazywa się argumentowością lub arnością działania . Samo działanie określa się wówczas jako α_i–argumentowe lub α_i–arne.

Najczęściej spotykanymi działaniami są działania dwuargumentowe, jednoargumentowe oraz zeroargumentowe, które nazywa się również elementami wyróżnionymi lub stałymi algebry .

Ciąg liczb nazywamy typem tej algebry.

edytuj Przykłady

Jako przykłady algebr ogólnych mogą służyć wszystkie podstawowe obiekty rozważań algebraicznych, wśród nich zaś między innymi: grupy, pierścienie, ciała i moduły.

Jedną z najczęściej rozważanych algebr ogólnych jest algebra , gdzie:

• Z oznacza zbiór liczb całkowitych,
• + jest zwykłym dodawaniem liczb całkowitych (a więc działaniem dwuargumentowym)
• − oznacza jednoargumentową operację brania elementu przeciwnego,
• 0 jest elementem wyróżnionym, czyli działaniem zeroargumentowym.

Typem algebry jest w tym przypadku ciąg (2,1,0). Algebra jest jednym z podstawowych przykładów grupy abelowej.

edytuj Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• homomorfizm,
• izomorfizm,
• algebra nad ciałem,
• algebra liniowa.